Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
e-/co/
(1.97)
который не может быть вычислен, так как синус и косинус колеб-пятся внутри предельных значений и не определены при бесконечном аргументе.
Найти решение в этом случае можно таким преобразованием f(t), чтобы интеграл Фурье сходился при введении «фактора сходимости», которым является е~а/, приводящий к преобразованию Лапласа. В этом случае
/'«=е-/ю={»:., ;<* (1.98,
Тогда
g (о)) = ^ e-e' e-'w dt--
e-(o+jot>yt
(1.99)
44
1.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Альтернативой для изменения преобразуемой функции является изменение преобразующего ядра. Оно заключается в том, что преобразуемая функция умножается на е-"', которое дополняет преобразующее ядро интегрирования е-*-'. Преобразование прини.-. Аіает вид
g (,) = ( [е-« / (t)] е~>< dt; g (cd) = j / (0 e-<e+")' dt;
6 * (Ll(X))-
OO
6
Обратное преобразование принимает вид
— оо
Таким образом,
оо У OO
/(/) = — \ ^ (со) е^в+»'rfo)=—— [ g (to)e<e + W'rf(/u>) = 2jt 2«т ^ с
-OO — У OO
а + У<* о+/оо
= -^- \ ?(w)e('+»'rf(a + » = — ( F(s)e«ds. (1.101) 2л/ ; 2л/ .і
а—у оо а—у оо
Уравнения (1.100) и (1.101) называют преобразующей парой Лапласа. Если интеграл (1,100) сходится, то функция f(t) может быть преобразована с помощью оператора Лапласа. Большинство встречающихся в прикладных задачах функций может быть преобразовано с помощью оператора Лапласа. Примеры функций типа P и e/rt (л=1, 2, 3,...), которые не могут быть преобразованы с помощью оператора Лапласа, в дальнейшем из рассмотрения исключаются. Это объясняется тем, что функции, которые не могут быть представлены экспоненциальными структурами, оператором Лапласа не преобразуются. Смысл этого утверждения очевиден.
По поводу функции f(t) следует сказать следующее: 1) независимая переменная / не обязательно должна выражать время; 2) для обеспечения однозначности преобразования Лапласа функция /(/) должна быть однозначной; 3) она может иметь конечное число конечных разрывов; 4) если функция имеет разрыв при /=0, нижний предел интеграла должен приближаться к нулю с положительной стороны. Наконец, обратное преобразование Лапласа (1.101) может быть вычислено с помощью теории вычетов, что упрощает эту операцию.
Преобразования Лапласа с применением элементарных функций и операций над ними позволяют сводить довольно сложные
45
для решения дифференциальные уравнения к решению алгебраических уравнений в изображениях.
Преобразования Лапласа позволяют:
1) осуществлять преобразование периодических функций с конечными разрывами (или разрывами производных) в простые алгебраические функции;
2) преобразовывать операции интегрирования и дифференцирования во времени в операции умножения и деления в частотной области;
3) осуществлять преобразования интегродифференциальных уравнений в алгебраические;
4) в случае решения дифференциальных уравнений осуществлять определение произвольных постоянных;
5) в удобной форме исследовать устойчивость линейных систем по их реакции на импульсное возбуждение.
Существует достаточно обширный перечень литературы по довольно сложным методам анализа линейных систем с применением преобразований Лапласа. Основным фундаментом этой литературы служит сравнительно небольшой перечень теорем, которые мы приведем без доказательств, имеющихся во многих источниках.
Теорема 1. Преобразование Лапласа для суммы двух функций равно сумме преобразований каждой из них:
?(/1 + /2) = ^(/1) + ^(/2). (I-102)
Теорема 2. Преобразование Лапласа произведения функции на постоянную величину равно произведению этой постоянной на преобразование Лапласа этой функции:
L(cf)=cL(f). (1.103)
Эти две теоремы выражают линейную природу преобразований Лапласа.
Теорема 3. Теорема смещения. Если оператор Лапласа Lf (t) = = F(s), то
L[f(t-T)U(t--T)\ = e-T*F(s). (1. 104)
Добавим, что функция смещения имеет значение также для дискретных устройств, где смещение во времени естественно.
При игнорировании этой важной оговорки возникают ошибки, и особенно при применении теоремы смещения к разностным уравнениям.
Теорема 4. Оператор Лапласа периодической функции f(t) равен 1/(1 — е—г*), умноженной на оператор Лапласа f(t) по первому периоду:
AAO=^Sr- (1.105)
Теорема 5. Теорема дифференцирования. Если функция /(/) и
46
ее производные могут быть преобразованы с помощью оператора Лапласа и если L\f(t)]=F(s), то
I |J_ /(O)-S^(S)-Z(O+). О- 10б>
Теорема 6. Теорема интегрирования. Если Lf(t)=F(s), то
ljj/(t)rf*J=-^. (1.107)
Теорема 7. Если L[f (t)] = F(s) и первая производная может быть преобразована с помощью оператора Лапласа, то
/(0+)=lim f(t)=limsF(s). (1.108)
/->0 + 5->-оо
Теорема 8. Если L[f (t)] = F(s) и первая производная может быть преобразована с помощью оператора Лапласа, то
Hm/(0=HmsF (5). (1Л09)
/->оо 5->0
Теорема 9. Теорема свертки. Ее*™ L[fi{t)] = Fx(s) и L[f2(t)]== =F2(s), то
1 [Іfi {t~t} л (T)rfT]=1 [J/2 (/T) rft]=/7i(s)/;,2(5)-(! •1 ю)
Теорема свертки особенно важна, так как она позволяет получить реакцию системы на функцию воздействия. Интеграл свертки позволяет получать частное решение для многих дифференциальных уравнений, которые могут быть преобразованы с помощью оператора Лапласа и у которых функция воздействия может быть также преобразована с помощью оператора Лапласа.
