Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Те, кто имеет дело с исследованиями вращательных движений, должны познакомиться с пока еще не очень широко известной работой Le Compte, который разработал простой подход (он назвал его двухвекторной гиромеханикой) * для анализа вращательного движения. Она основана на физическом проникновении в суть ги-родвижения через структурную схему движения, угловую скорость, вращательный момент и координату единичных векторов, так как система реагирует на скручивающие воздействия. Обычно простые математические модели вращательного движения могут быть разработаны на основании гиромеханики, которая принесла большое количество интересных изобретений, среди которых такие, как активные демпферы нутаций, целевые управляющие системы тел вращения, трансляционные управляющие системы тел вращения, простые датчики колебаний.
1.10. ИЗОБРАЖЕНИЕ СИСТЕМЫ В ФОРМЕ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
Линейные динамические системы п-го порядка описываются линейными дифференциальными уравнениями п-то порядка, которые могут быть преобразованы в систему п линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
*i (0 = + ^12*2 +... + alnxn + O11U1 + O12U2 + • • • + bimum;
X2 (t) = U21X1 + U22X2 +... + и2пхп + O21U1 + b22u2 +... + b2mum; (1. 116)
*п (0 = anl*l + an2*2 + ".+- CL91nXn + ЬЛІих + bn2U2 + ... + bnmUm.
п функций в этой системе дифференциальных уравнений являются функциями, определяющими состояние системы. Они могут быть переписаны в матричной форме
X
Х2
хъ
(1.117)
* «Simply Mechanized Attitude Control for Spinning Vehicles*. G. W. Le Compte and J. G. Bland. Journal of Spacecraft and Rockets. Nov.—Dec, 1964.
60
Обозначая входной вектор как
U1 «3
(1.118)
мы можем переписать систему (1.116) в следующем виде:
X1 ап а12. .а1п X1 "O11O12.. -bim' U1
X2 ^21 ^22 • • а2п X2 + #21 ^22- • •hm U2
_#л1 ап2" •апп- -Xn _ -Аі*д2" Am-
(1.119)
Можно видеть, что здесь обнаруживается аналогия между полученным результатом и однопараметрическим случаем, когда единичный выход выражается через единичный вход с помощью передаточной функции. Развивая эту аналогию, изменим обозначения дифференциальных уравнений /г-го порядка через обозначения од-нопараметрического случая, используя для этого символику n-мерных векторов состояния, которые приведут к системе алгебраических уравнений связи между входом и выходом системы
Di = CnXx-Y с I2X2 + • •. 4- cinxn -Yd11U1-^d 12и2 -f... -j- dlmum;
У 2 = 02IX1 + C22X2 + ... + C2nXn + Af21H1 + ^22? + • • • + d2mUm\ ( 1. 120)
Ук = CklXl + ?*2*2 + - + Ckn*n + dklux + dk2u2 +... +
Записывая переменные входа в матричном виде, можно представить (1.120) в форме
(1.121)
Ух C11C12. - X1 - dudx2. •dlm
У2 C21C22 . • С2п X2 I "Г d21d22. •d2m U2 . (1
-Ук _ _ ck\ Ck2 • •Ckn- - ХП - _?kldk2. ••dkm- _ Un
Как (1.119), так и (1.121) могут быть записаны в более простой векторной форме, где векторы выделяются жирным шрифтом:
X = AX 4-BU; (1. 122)
Y = CX + DU. (1. 123)
Обычно нет прямого соответствия между векторами состояния системы векторных уравнений и функциями на входе и выходе. Если матрица D равна нулю, система уравнений может быть упрощена:
X = AX-f BU; (1. 124)
Y = CX. (U 125)
Эта система уравнений может иметь векторно-матричный вид или может быть представлена в форме записи одной переменной
61
состояния системы. А — обычно называют матрицей системы, В — матрицей входа, С — матрицей выхода. Этот тип математического описания имеет общий характер и прост по форме. Теоретическое значение такой формы записи подчеркивает общность преобразований в линейных системах. Многие теоремы я-размерного векторного пространства посвящены отождествлению значительного количества свойств динамических процессов. Например, идея я-раз-мерного векторного пространства может быть использована в системах управления, в частности, при проектировании оптимальных систем управления путем сведения к максимуму векторно-скалярного произведения, представляющего выходной вектор регулируемой системы при заданном векторе входного управляющего сигнала. Современные методы фильтрации также основаны на минимизации скалярного произведения, представляющего выходной вектор фильтра при заданном векторе шума на входе. В некоторых системах оптимального управления с фильтрами стараются объединить оба метода.
Несмотря на то, что методы решения линейных дифференциальных уравнений хорошо изучены, использование векторно-матрич-ной записи имеет большое практическое значение. Она не может быть непосредственно использована для решения линейного дифференциального уравнения п-го порядка. Однако векторно-матричный метод дает решение системы п линейных уравнений первого порядка, которое вместе с тем идентично решению дифференциального уравнения системы n-го порядка.
Хотя векторно-матричные выражения для линейных систем не устранены из области математического моделирования, их проникновение в эту область не получило большого размаха, так как более полное представление о характеристиках и свойствах систем создали аналитические выражения, которые приводятся к подробным структурным схемам. Именно это является решающим фактором при синтезе эффективных комплексных систем.
