Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Другим источником ошибки моделирования (и цифрового регулирования) является процесс вычисления системы с обратным контуром, когда вычисляется прямой контур до вычисления обратного. Это приводит к запаздыванию при расчете замкнутых контуров. Это временное запаздывание не может быть вычислено учетом движения сигнала по непрерывному замкнутому контуру.
Таким образом, источники ошибок для рекуррентных и непрерывных форм моделируемых или контролируемых систем аналогичны.
Трудности в понимании разностного уравнения в форме
возникают тогда, когда последовательность Xn сравнивается с X(t)\nT и они не согласуются на некоторую величину, результат чего может быть истолкован следующим образом: Классическая точки зрения
1. Xn обладает отклонением из-за ошибки в Xn-X (какие бы причины ее не вызвали)
1. Xn обладает ошибкой из-за ошибки в Хп_х (то же, что и в классическом толковании)
2. Xn обладает временным смещением относительно X (t)\nT
3. Xn обладает ошибкой как из-за ошибок в Xn^i, так и из-за ошибок во времени.
Ясно, что, если задано уравнение
Xn=е-тхя_г
и вычисленное значение не совпадает с контрольным значением, то ошибка может объясняться как ошибкой согласования во времени, так и ошибкой оценочной функции или сочетанием обоих.
Далее мы увидим, что ошибка оценочной функции (зависящая от отбрасывания членов ряда и округления) может быть объяснена и как ошибка согласования.
Для уменьшения ошибки при отбрасывании членов обычно принимают более мелкие шаги, так как ошибка меняется как степень величины шага и при є~ДГ3 означает, что для шага (AT 12)
І ДГ \з е (ДГ)3 ?Ы 8 •
Современная точка зрения
76
Проще уменьшить ошибки за счет согласования, изменяя время выхода на печатное устройство.
Первый способ является достаточно дорогим способом уменьшения ошибки, так как необходим больший объем вычислений для решения данной задачи. Он обладает тем преимуществом, что все переменные состояния могут выводиться на печать при одном и том же значении времени *.
Преимуществом второго способа является то, что вычисления проводятся более экономично (из-за большего размера шага), но зато все параметры состояния сравниваются с параметрами непрерывной системы при несколько ином времени. В последнем случае имеется тот очевидный факт, что время не инвариантно при преобразовании дифференциального уравнения в моделируемое разностное уравнение.
Это приводит нас к двум видам времени — реальному времени и времени решения задачи, идея которого будет более подробно рассмотрена далее в книге.
Уравнения в приращениях и рекуррентные формулы
Типичные примеры уравнений, описывающие дискретные системы, приведены ниже.
Уравнения в конечных разностях.
Ar
Ly + tfy = 0.
Уравнения в приращениях^4 1 v ^
1^+1 + (^-1)^ = 0.
Рекуррентные формулы рЛ —Д^)#я-1 + /л*
[Уп = АУп-і + /п-
Нелинейные разностные уравнения yn = A(yn-i)2+fn-Термин «уравнения в приращениях» часто используется для описания всех этих уравнений и является результатом того, что он, возможно, возник из понятия уравнения в конечных разностях.
Простые линейные разностные уравнения могут быть получены преобразованием линейных дифференциальных уравнений с помощью формул численного интегрирования и написания их в форме уравнений в приращениях. Нелинейные разностные уравнения могут быть получены подобным же способом, в результате преобразования нелинейных дифференциальных уравнений с помощью формул численного интегрирования и написания их в форме нелинейных дифференциальных уравнений в приращениях.
"а самом деле, не все они печатаются при одном и том же времени, как уже это видели и встретим далее.
77
Например, если дифференциальное уравнение имеет вид х — х=Оу где x0=O, и мы используем прямоугольную формулу интерполирования *
Xn = Xn^1 -f- Тхт
то получим
Xn = xn_i -)- 7*хя,
откуда
Л«-(ьЬ)^-1в
В том случае, если
je — je2=0 при х0 = 0; x^ = xn-i-J-Tx72; 7Ъся -^/t-^/?—і 0»
найдем
Xn =i —---— Vl- 47X1,.
я 27* 27*
Заметим, что, так как мы рассматриваем эти уравнения как рекуррентные, знак приближения записывается вместо знака равенства.
Задача для студентов
Квадратное уравнение Txn2—хп+хп-\=0 имеет решение
Почему второе выражение выбрано отрицательным?
2.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Разностные уравнения возникают, когда динамика дискретных процессов выражается в форме уравнений в конечных разностях, таких, как
ЬтУ = /(Уп> Ьу„ b*y„...,u*-*y„ п).
Так как
Ьу=Уп-Уп-і; Ь2у = Ьуп-Ay11-1=уя — 2уЛ_і+Уп-Ъ вместо разностного уравнения т-го порядка получим
Уп = ё(Уп> Уп-Ъ Уп-Ъ Уп-Ь->Уп-т> П).
* Численное интегрирование только аппроксимирует аналитическое интегрирование, поэтому в формуле численного интегрирования употребляется знак «приблизительное равенство».
78
Если / (и поэтому g) и т начальных условий
известны, то определяют единственное решение разностного уравнения.
Рассмотрим, например, линейное разностное уравнение второго порядка
уп-6уп-1 + 8уп_2 = п при у0=3, #1 = 2.
Предположим, что коэффициенты в уравнении постоянны и функция определена только при ?=/гГ, когда /г = 0, 1, 2,... Это уравнение мы называем уравнением второго порядка, так как оно содержит разность значения зависимого переменного в двух соседних интервалах. Это уравнение мы можем назвать линейным, так как оно не содержит степени больше первой или произведений зависимой переменной.
