Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Классические методы решения линейных разностных уравнений подобны методам решения линейных дифференциальных уравнений. Решение состоит из двух частей — дополнительного и частного. Общее решение является суммой обоих решений.
Дополнительное решение — это общее решение однородного уравнения при равенстве нулю силовой функции:
уп-6уп_г + 8уп_2=0.
Это уравнение решается способом, аналогичным тому, который применяется при решении дифференциальных уравнений, а именно, методом подбора решения, допустим в виде а71.
Тогда, если
Уп=Сап,
где а и С— константы, мы найдем при подстановке в разностное уравнение, что
(а2-6а + 8) = 0. Это — характеристическое уравнение, которое имеет корни
аг = 2; а2=4.
Полная запись дополнительного решения имеет вид
Уп=СхаЦ + C2(A=Сх2* + С24*. Используя начальные условия, найдем, что, если д = 0, то
3=С! + С2
и при п= 1
2 = 2C1 + 4C2.
Решая эту систему созместных уравнений, найдем C1 = O и C2 = 2. Таким образом,
^=5(2^-2(4)».
79
Чаше встречаются линейные разностные уравнения в виде <hK*T) Уп+аі (пТ) уп__г +... + ат (пТ) yn_m=/ (ПТ).
Мы можем его переписать в форме
*о**Уя + ах z-iyn+Ci2Z-Zyn+... + amz-^yn=f [пТ\
где z°=l и Z-™ является оператором смещения (т. е. г-шУп=Уп-т)-Тогда
(aozO + (I1Z-* +... + aMzr") уп=/ (пТ); L(z)yn = fn.
Если /п = 0, для всех п удобно искать решение в виде
У = Сг».
Подставляя его в разностное уравнение, получим характеристическое уравнение
(a0r* + а, г*-1 +... + аЛг«-«) = 0.
Если йі постоянны, — этот многочлен имеет m корней. Если корни действительные и имеют различное значение, уравнение принимает вид
Уп=ciri + CV*2 +... + С mrnm.
Если йі — действительные числа, а некоторые корни комплексные, то решение принимает вид
Уя"АГ1(а1 + /р1)л + Г2(а2ч—ір2)я + ... (декартовы координаты);
yn=zQ«>(Ci cos/16-[-C2 sin я6) + ... (полярные координаты).
Если корни действительные и равные, то решение примет вид
Уп = (Сі + С2п + ...+Скп*-Чг*.
Если /п?=0, то возникает задача нахождения частного решения разностного уравнения. Найденное частное решение складывается с дополнительным, образуя общее или полное решение разностного уравнения:
общее уп = частное уп+дополнительное уп-
2.2. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ
Частное решение неоднородного уравнения может быть получено методом, аналогичным методу получения частного решения неоднородного дифференциального уравнения. В частности, в некоторых случаях, подобных рассмотренному в разд. 1.5, может быть использован метод неопределенных коэффициентов.
Как было указано раньше, метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частных решений, когда силовая функция F(k) может быть выражена через часто встречающиеся соотношения. В этом случае мы предугадываем вид частного решения, которое должно быть связано с видом силовой функции.
Метод неопределенных коэффициентов прост в применении Ti
80
приводит к простым результатам. Для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, чья возмущающая или возбуждающая функция составлена из суммы или произведения возмущающих функций, сведенных в табл. 2.1, где частные решения являются суммой или произведением функций, представленных в правой колонке. Если это решение подставляется в разностное уравнение, то коэффициенты в правой и левой частях приравниваются для определения коэффициентов частного решения. Этот метод содержит несложные преобразования. Если возмущающая функция содержит член, имеющийся и в дополнительном решении, то его учитывают при формировании общего решения, а при ее представлении в виде степенного ряда должна быть проведена оценка частного решения в виде степенного ряда такого порядка относительно который позволит получить достаточно точное решение.
Таблица 2.1
Применение метода неопределенных коэффициентов в частных решениях линейных разностных уравнений
Виды возмущающих функций Вилы частных решений
k k
а Aa
Многочлен P (k) порядка т Aq^ + A^"1-1+ ... +Ат
sin (ak) A cos (ak) + В sin (ak)
cos(ak) A cos (ak) 4- В sin (ak)
а*Р (k) ak(Abkm+Axkm-l+...+Am)
ak sin (bk) ak [A cos (bk) + В sin (bk)]
ak cos (bk) ak [A ccs (bk) + B sin (bk)]
Пример.
Решим уравнение
Однородное уравнение имеет вид
Хп+ТХп^ = 0. Дополнительное решение получим в следующем порядке. Этап 1. Допустим, что решение существует в виде Хд(п)=ап. Подставляя его в однородное уравнение, имеем
а" (1+7Ъ-1) = 0.
Таким образом,
а=-Т
* ХЛ(п)=С(-Ту.
Bi
Этап 2. В соответствии с табл. 2.1 допустим, что Хч(п) =А2п2+ + А\п+А0у в то время как возмущающая функция имеет вид я2. При подстановке X4 (п) получим
А2п2 + Ахп+Аъ+ТА2(п-\)2 + Т A1(H- \) + ТА0=п2
или
А2п2+А\П + A0 + ТА2п2 - 2ТА2п + TA2 + ТАгп - TA1 + 7Vl0 = п2;
(I+ T) А2п2 + (A1 - 27Vl2 + г A1) п + (Д, + TA2 - 7Vl1 + г A0) = /Л
Так как левая часть равна правой, если X4 — решение разностного уравнения, для любых значений п, приравнивая коэффициенты при равных его степенях, получим систему для нахождения трех неопределенных значений Au A2, As-
(1+T)A2=U (2.1)
лі-27Vl2+7Vl1 = o; (2.2)
А0 + ТА0 + ТА2-ТАг = 0.
