Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Смит Дж.М. -> "Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей" -> 27

Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.

Смит Дж.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. Под редакцией Чембровского О.А. — M.: Машиностроение, 1980. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): matmodicifmod1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 86 >> Следующая

При обратном Z-преобразовании часто применяется два метода:
— метод разложения в степенной ряд;
— метод разложения на элементарные дроби.
Представленный в этой книге материал использует только метод разложения в степенной ряд. Существует еще и третий метод, прямой метод, который включает интегрирование по контуру в плоскости Z. Этот метод мало пригоден для инженеров и обсуждаться не будет. Он упомянут здесь только для полноты изложения.
Метод разложения в степенные ряды при обратном Z-преобразовании *
По этому методу многочлен из z разлагается в степенной ряд из Z-1 делением. Коэффициенты каждого члена степенного ряда соответствуют значению функции f(t) при п-и выбранном моменте
= Z-» (1 + Z-1 е~аТ + Я"2 Є-2ЯГ _|_ 2-3 е-ЗаГ _)__).
Z-i(^-^)=18(0)^
+ е-3лГ8(/-ЗГ) + ...
Заметим, что если
У («) J z
Х(2) г—е-аГ ' то соответствующее рекуррентное уравнение имеет вид
Если х=0 для всех значений п и #о=1, то результатом решения будет последовательность из уп:
1, Є"*7*, е-2^, Є"3*7',...
Мы видим, что эти значения связаны с коэффициентами при разложении в степенной ряд передаточной функции F(z) области Z.
В табл. 2.4 объединены следующие основные моменты операторного метода Z-преобразования.
1. Написание последовательности чисел в форме, которая позволит произвести преобразование с помощью оператора Лапласа либо Фурье.
2. Преобразование функции f(t) в функцию F(z).
3. Преобразование функции F{s) в функцию F(z).
4. Определение вида разностного уравнения на основании вида функции F(z)f что можно использовать при вычислении последовательности {/(пГ)}.
* Одностороннее Z-преобразование.
90
Рис. 2.1. Множество функций может проходить через одну и ту же систему точек
Отсюда становится ясным, что можно осуществить следующие переходы:
— от разностного уравнения к функции F(z)\
— от функции F (z) к функции f* (t);
— от функции F(z) к функции f(t);
— от функции F(z) к функции F (s);
— от функции F(s) к функции F (z) и т. д.
Все это нужно помнить при реализации метода Z-преобразова-ния, которое позволяет осуществлять переход от дифференциального уравнения к моделируемому уравнению в следующей последовательности:
дифференциальное уравнение и возмуща-^/5|л/^г*/л^/2|^ разностное ющая функция извест- ' w ' v ' уравнение
ного вида
Переход от разностного уравнения к дифференциальному уравнению осуществляется в обратной последовательности:
разностное .+F (s)-^f (t)*^.f(t)-+F (S)^- Дифференциальное уравнение v ; /v ' /v; v ' уравнение
Осуществляя операцию по реализации этой последовательности, можно ее прервать или начать с некоторого момента. Полная последовательность осуществляется только при переходе от дифференциального уравнения к разностному уравнению и наоборот.
2.5. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Вооружившись теперь методом Z-преобразования, мы сможем решать линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами (1), осуществляя Z-преобразование правой и левой частей разностного уравнения (2) применением алгебры Z-преобразования
Краткая запись операторного метода 2-преобразования функций временной области их дифференциальных и разностных уравнений
Таблица 2.4
Преобразования
Начиная с первой строки таблицы сверху вниз, раположена последовательность преобразований
Определения
Допустим Тогда
L {/* (0} = 2 / (пТ) e~nsT = F* (S) о
L-i {F* (S)} = / (0) Ь (/- 0) + / (T) Ь (/- T) + / (2T) Ь (t-2T)+...
z*esT
F (*)??/(пТ) z~n=Z{f* (t)};
/* V) 4 2 П(пТ) Ь (t-пТ) = Z-i {F (Z)}.
0 Г-
Эти уравнения называют парным Z-преобразованием. Они являются логическим продолжением преобразования Лапласа
Преобразования Лапласа и дифференциальные уравнения Y=f(t); Уо = 0
L (Y (0) = sy (s) и, если f(t) = U (0, тогда L f (t) = — и Y (s) = 1/*2. . •. Y (t) = t
S
Z-преобразования функций временной области и функции s-области
Z-преобразования и разностные уравнения
Z (t) 4 Z 2 5 (t—nT) = Z (s-2) = (07>-0 + (Г)2Г-1 + (2T) *2 + ... + (л Г) =
О
= 0 + 7>-i + 27>-2 + ... + (пТ) z~n == Г (2Г-1 + 2*-2 + Зг-з+... +пг~п+...);
Преобразования функций F(г) в разностное уравнение для вычисления последовательности 1(пТ)
у (Z) Tz Tz-I
Если
X(Z) (2--1)2 1 2^-1 + 2-2»
(1 _ 2*-1 + *-2) у (г) = 7\г-1 д: (*); у (з) — 2е~зГу (S) + e~*r t/ (S) = Ге-*7* (*); у (0 — 2y(t — T) + у (t — 2T) = Tx(t- Т); у (пТ) = 2у ((п — I)T)— у ((п -2) T) + Tx ((п— 1) T).
для получения решения уравнения дискретной системы, подвергающейся воздействию произвольной возмущающей функции (частное решение), и решения ее однородного уравнения в зависимости от начальных условий (дополнительное решение). Рассмотрим разностное уравнение
Xn = Axn^1 +/я при X[O) = X0, которое в результате Z-преобразования примет вид x[z) = Az-*x(z) + f (z). Решение x(z) примет вид уравнения
X[Z)-*-A + z-A* которое при обратном преобразовании приводит к дискретной функции *
x(nT) = A»x0+f(nT) + Af((n-l)T) + A*f((n-r2)T) + ...*
Первый член уравнения является решением однородного уравнения или дополнительным решением, а остальные члены ряда являются частным решением. Между прочим, мы видим, что коэффициент А71 переносит начальные условия X0 на величину х(пТ), которая может быть получена непосредственно из разностного уравнения в соответствии со следующим:
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed