Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
• A2=—і—.
+
Из уравнения (2.1)
2TA2 2Т
1+7 (1+7)2 Из уравнения (2.2)
Г 1 _ 2Т 1 4 _ 7(Vl2-^1) _^ Ll + Г (1 + 7)2] . 0 1 + 7 1 + 7
4 _ L 1 + Г J _^Г(1- Г) ' 0 (1 + Г)2 (1 + Г)3 *
Таким образом,
^W=-Jg-+-gSu- + r(1"r)
4 1 + 7 1 (1 +7)2 1 (1 +7)3
jt11=A^ (я) + *, (Zt) = C1C-—^—h—^--ЬГ(1"~Г).
Изображение дискретной системы с помощью переменной состояния
Как и дифференциальные уравнения, разностные уравнения могут быть записаны в виде вектора состояния. Это обнаруживается при переходе от разностного уравнения n-го порядка к п разностным уравнениям первого порядка. Решение каждого отдельного дифференциального уравнения представляет собой вектор. Сово-
82
купность п векторов называется вектором состояния. Так как вектор начальных условий и вектор возмущающих функций сказываются на векторах решений разностных уравнений первого порядка, мы говорим, что состояние на входе претерпевает изменения. Переход от состояния к состоянию осуществляется с помощью матрицы перехода.
Общая система векторно-матричных уравнений имеет вид
Y(*+l) = B(/i)Y(*) + X(/i),
где {X(п)}—известная последовательность векторов.
Если заданы начальные условия Y0, то общее решение примет вид
у(/*)=рЛ0у0+2рЛ-ь
где РЯ/=ВЯ.1ВЯ.2...В/
и
Если Вл_! = Вл_2 = .. = By = В,
то общее решение примет вид
п
Y (a) = B*Y (0) +2 Вя-/Ху_1в (2. 3)
/-і
Пример. Рассмотрим однопараметрическое дифференциальное уравнение первого порядка х -^- -\-y = e-kt при т и k — положительных постоянных, у(0) = 1. Это уравнение может быть аппроксимировано разностным уравнением
х{уп — уп-і)-\-кТуп_1 = кТе-кп*г при ДГ — положительной константе;
Уп-Уп-1+ — Уп-і=—е *"лг;
TJ TJ
1--—Jy71-1 = — e-*rtAr (стандартная форма).
Используя уравнение (2.3), запишем решение в следующем виде:
».-('-^+SO-vr'tf)^».
Таким образом,
*-(>-тК-т<
83
Так же как и при решении дифференциальных уравнений, константы в решении разностных уравнений определяются на основании известных условий. Нет необходимости за известные принимать начальные условия задачи, это могут быть любые условия, где последовательность значений решения {Xn} известна.
Другим способом решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами является метод Z-преобразований.
Сделаем краткий обзор Z-преобра званий и их основных свойств.
2.3. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Z-преобразование возникло из необходимости определения выборки дискретных значений сигнала в форме последовательности чисел, которую используют инженеры связи и управления для исследования управления выборкой данных и в телеметрических системах.
Инженеры столкнулись с задачей определения «пульсаций» данных в выбранной последовательности в частотной области.
Проблема математического анализа в частотной области заключается в том, чтобы с помощью преобразования Фурье или Лапласа получить возможность решать разностные уравнения. Здесь цель сводится к необходимости решения задач инженерами, занимающимися управлением, применить преобразование Лапласа и Фурье для получения последовательности выборок или последовательности чисел.
Математически принято, если
Lf(t)=F'(з),
то можно записать
!>{/№)}.
Для решения этой проблемы был в конце концов применен способ, использующий хорошо известную дельта-функцию, которая: а) может быть преобразована с помощью операторов Фурье и Лапласа; б) образует последовательность непрерывных хорошо известных функций, которые образуются модулированием системы дельта-функциями; в) приводит к преобразующей паре, которая допускает алгебраические действия в разностных уравнениях, подобно тому как преобразования Лапласа приводят к алгебраическим действиям при решении дифференциальных уравнений.
Кроме того, что более важно, характеристики этой последовательности смодулированных импульсов в частотной области почти соответствуют характеристикам выборочных данных, так что они используются в телеметрии и в определенном типе систем связи.
Подход к преобразованиям Лапласа и Фурье в области дискретных значений функций изображен в табл. 2.2.
Для целых чисел, кратных выбранному периоду Г, существуют соответствующие значения /(/), которые образуют последователь-
84
ность {f(nT)}. Хотя эта дискретная функция сама по себе не может быть преобразована ни с помощью оператора Лапласа, ни оператора Фурье, однако с помощью дельта-функции (которая сама по себе непрерывна, везде хорошо определена и может быть преобразована и с помощью оператора Лапласа и Фурье) модулированием ее значениями функции f(t) может быть определена в выбранный: момент, как показано в колонке.
Таблица 2.2
Последовательность величин, представленная как ряд промодулированных дельта-функций и ее преобразований с помощью оператора Лапласа
1 2 3 4 5
t /(0 f(t)b(t-x) L{f(t)b(t-X)}
0 /(0) B(O) /(O)B(O) /(0)
T /(T) Ht-T) f (T) b(t— T) f (T) esr
2Т /(2T) В (t—2T) f(2T)b(t—2T) f (2T) e~2sT
st /(ЗГ) b(t — ST) f (ST) b(t — ST) f (ST) e-3sT
пТ {/(пТ)} b(t—nT) I f(nT) b(t — nT) I f(nT)e~~nsT
I 2 b(t-nT) 0 I oo I /(0*=S f(nt)b(L-nT) 0 4/(0*} = OO
