Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
может быть представлено структурной схемой фазовой переменной, показанной на рис. 1.18.
Этап 2. На основании структурной схемы имеем
Уі = Y + J {—kY2) dt=Y-kY4=Y(\- kYty
У2
=y -m+№¦ [р —у-)];
Пример 2.
Этап 1. Нестационарное линейное дифференциальное уравнение
y + kty=f(t),
для которого примем
?(0)=0, у(0) = К, /(0=0,
представлено структурной схемой фазовой переменной, как показано на рис. 1.19.
Этап 2. Из структурной схемы видно, что
Л-К-^-г(1-А);
-[
1 + (-1)« VAr
==Уе-Ы*/2%
Пример 3.
Этап L Уравнение
(l-fi)y-2tj, + n(n+l)y=f(t), где у(0) = 0, Jf(O) = V9 V[O) = Y9 /(0=0,
может быть представлено структурной схемой фазовой переменной, как показано на рис. 1.20. Заметим, что
о і
/ 1 —*2
можно схематизировать как
M
(+1
Этап 2. Исследуя структурную схему рис. 1.21, можно записать
+
У=[к-||я(я+1)гаЧ-...| + Lo о
Yn(a+l)dt* + \\Ytdfi+...
Таким образом,
у=у]\-п{п+\)-
+ ...
+ К^_(л_1)(л + 2)-|.+ .
Сравнивая примеры 1 и 2, можно сделать следующие заключения.
1. Системы с гладкой нелинейностью приводят к более сложным выражениям для многочленов, чем у линейных. В этом смысле нелинейные системы более сложны, чем линейные того же порядка.
2. В отличие от нелинейных уравнений решения в виде аппроксимирующих рядов в линейных системах могут быть получены непосредственно из структурной схемы, исключая необходимость применения промежуточных многочисленных полиномов.
Первое выражение ряда для нелинейной системы — это начальное условие, являющееся входным сигналом структур ой схемы.
70
Рис. 1.20. Структурная схема решения уравнения (1—/2)#—2ty+п(п+ \)y=f(t)
через фазовую переменную
Вторым выражением ряда является начальное условие, которое пришло к выходу структурной схемы после первого прохождения по цепи обратной связи, подвергаясь воздействию соответствующих математических операторов.
Подобным же образом получают п-е выражение в бесконечном ряде прохождением начальных условий по контуру п—1 до того, как оно прибавлено к решению.
Такое упрощение применяется также и при решении линейных систем независимо от того, являются ли они стационарными или нет.
В случае линейного дифференциального уравнения входной сигнал проходит по прямой части контура, преобразовываясь в выходной. Второе выражение проходит от одной замкнутой цепи к другой через оператор умножения на п(п+1), и затем через два оператора интегрирования.
Выражения более высокого порядка получают таким же способом — последовательным прохождением по замкнутым контурам*
Zt
п(п+1)
Рис. 1.21. Упрощенная структурная схема решения уравнения (1 —/2)у—Ч-+n(n+l)y=f(t) через фазовую переменную
71
1. Y проходит непосредственно к выходу.
2. Y проходит по внешнему контуру.
3. Y проходит по внутреннему контуру через операцию умножения на 2t, затем проходит к выходу через два оператора интегрирования.
Необходимо отметить, что для составления сходящихся рядов достаточно сравнительно небольшой практики.
Этот способ эстетически более притягателен, чем педантичный классический метод получения решений ординарных линейных дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он был разработан автором для моделирования контрольных случаев и для исследования условий, при которых реакция системы приобретает монотонно возрастающий ряд, т. е. условия, при которых коэффициенты в решении дифференциальных уравнений с помощью ряда не содержат знакопеременных коэффициентов. Оказывается, что с точки зрения ряда одним из необходимых условий устойчивости является то, что он должен быть знакопеременным. Конечно, это условие не является достаточным для определения устойчивости, системы.
Только что описанный метод математически эквивалентен методу Пикарда для решения ординарных дифференциальных уравнений, независимо от того, линейны они или нелинейны, стационарны или нестационарны, автономны или неавтономны.
Если вы помните, по методу Пикарда производится не только решение ординарных дифференциальных уравнений с помощью рядов, но он является основой для теорем, которые гарантируют существование решения дифференциального уравнения, являющегося единственным, и что бесконечные ряды сходятся на всех интервалах, где существует решение дифференциального уравнения.
Другим методом решения нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые можно встретить в виде включений в системы, являются решения в форме F(x, у) =С. Тогда решением нелинейного дифференциального уравнения первого порядка будет
¦^L= fix, у)= (1.153)
dx Q (X1 у)
так что
Тогда
если
Pdx = Qdу. (1. 154)
— dx + — dy=0, (1.155)
дх ду
^- = Р(х9 У) и ^L=Q[X9 у) (1. 156)
дх ду
и, кроме того,
дР = dQ ду дх
(1. 157)
72
это следует из того, что между этими двумя условиями имеет место
(1.158)
дудх дхду
Тогда полагают, что (1.153) становится точным решением, а решение F(x, у) =С может быть получено из (1.156). Так, например, из первого уравнения (1.156) получим
F(x, у)=j Р(х, y)dx + R(y), (1. 159)
где R (у) — произвольная функция от у.
Используя второе уравнение (1.156), имеем
