Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения состояния (1.124) и (1.125) стационарных линейных систем можно решать либо методами преобразования, либо применением интеграла свертки.
Применив преобразование Лапласа к (1.124), найдем
sX(s)-X(0+)=AX(s)+BU(s). (і. 126)
Таким образом,
X (S)=(5І-А)-іХ (0+) + (Sl-A)-* BU (S). (1. 127)
Как видно из рис. 1.13, это выражение может быть сведено к структурной схеме. Применяя либо метод приведения к структурной схеме, либо решая уравнение состояния системы при помощи (1.124), можно записать
Х(/)=Ф(/)Х(0+)+ f<D(/-т) BU (т) dt, (1. 128)
62
K(O)-
Исходные условия системы
Входной вентор системьз // р
і-, ,_. X>L
вентор состояния системы
A $
Выходной вентор системы Y
Рис. 1.13. Векторно-матричная структурная схема линейных стационарных процессов
где переходная матрица определяется следующим соотношением:
ф = -А)-1. (1. 129)
Решением уравнения состояния (1.124) с использованием интеграла свертки будет
t
X = ехр [ А (/ - /0)] X (t0) + J ехр [А (/ - т)] BU (т) Л, (1. 130)
где экспонента матрицы определяется как
2!
ехр [A (t)] = l-\-At-
+ ...
(1.131)
Первый из этих двух методов более пригоден при анализе устойчивости систем, в то время как использование обратных матриц, включающих обратное преобразование Лапласа матрицы передаточной функции, представляет собой реакцию.на импульсное воздействие системы и не может быть осуществлено с помощью вычислительной машины.
Последний из методов более применим при использовании численных методов, когда матрицы преобразования раскладываются в бесконечные матричные ряды. Для различных физических систем эти ряды обычно сходятся. Интегралы свертки при исследованиях применяются более охотно, несмотря на то, что вычисление переходных матриц с конечным числом элементов усложняется необходимостью вычисления матриц п2 порядка бесконечного ряда, где п— количество векторов состояния в задаче, что в лучшем случае трудоемко.
При рассмотрении линейных стационарных систем уравнения записываются либо с помощью фазовых переменных, либо в форме Жордано. Изображение передаточной функции через фазовую переменную имеет вид
=<?(,)= g^^y^t'''4"^4"^ - О - 132)
U(S)
sn + ans
63
Рис. 1.14. Структурная схема системы л-го порядка в форме фазовой переменной
хп-1
Если ?<л, то
*1 0 1 0 0 . 0
0 0 1 0 . . 0
. хп-\ 0 0 0 0 .. . 0
-.Xn _ —A2 —аъ —а4..
Х\ 0
0
; + I
хп—1 0
Jf=[C1C2... ?»0...0]
4(s);
. 133)
(1.134)
Это может быть представлено структурной схемой на рис. 1.14.
Структурная схема той же системы, записанная в нормальной форме Жордана, представлена на рис. 1.15. Запись в нормальной форме Жордана можно получить из (1.132)
JL = G (з) = в + g»-i'*~2 + ' - - +с* + (1. 135)
путем преобразования знаменателя (1.132), где Xi — полюс передаточной функции.
Производя разложение в ряд элементарных дробей, получим
У _ di і d<i і dz _j_ і dn
и s—Xi s—Xo s—Хз ' s— X„
(1. 136)
Таким образом,
где
U(S)
U(S)
1
и (s) s—X/
u(s)
при і= 1, 2,..., /г.
**(s) 1 u(s)
(1.137) (1. 138)
64
Рис. 1.15. Структурная схема системы п-го порядка в нормальной форме Жордана
S-X1'
S-X,
1
S-Xn
Тогда
У = dx Z1 + d2z2 +... + d nzn Во временной области имеем
Z1=XiZ1-Ui при 1=1,2,
п
y = ^diZi.
И в векторно-матричной форме
Z = XZ + r«;
y = CZ,
где
(1. 139)
(1.140) (1.141)
(1. 142) (1.143)
(1. 144)
В матричной терминологии лямбды, фигурирующие в нормальной записи Жордана, являются корнями характеристического уравнения матрицы А, которые (опять же) являются полюсами передаточной функции. Так как соответственное значение матрицы к инвариантно к любым линейным преобразованиям, существуют линейные методы преобразования для численной оценки лямбды в выражении Жордана.
Системы матричных уравнений при использовании в моделях систем должны быть соподчинены с преобразованными матрицами состояний.
Решение линейных нестационарных систем [А, В и С в (1.124) и (1.125) нестационарны] в векторно-матричной форме задается как
гхх о - _ J _ ~dx -
X = ч , г= 1 и C= d2
0 " хя_ і
X = Ф (t, t0) X (t0)+J Ф (t, X) B (t) U (t) dx; Y = C(OX(O,
З 493
(1. 145)
(1. 146) 65
где переходная матрица принимает вид
Ф(/, Z0)= ехр
(1.147)
Выражение (1.145) является решением (1.124), если А, В и U нестационарны, что можно доказать подстановкой.
И, наконец, решение линейных векторно-матричных дифференциальных уравнений возможно методом их подбора.
Обсуждаемые в этой книге методы фокусируются на рассмотрении матрицы перехода от одного решения к другому. Переходные матрицы обладают достаточно удобным свойством, по которому переход, осуществляемый через п этапов с помощью одной матрицы, равен произведению п матриц на интервалах промежуточных переходов:
Это свойство справедливо как для стационарных, так и для нестационарных линейных систем. Другим важным свойством переходных матриц является свойство «предыдущей позиции» и обращение с помощью переходной матрицы в «обратную позицию»:
Во всех представленных случаях применялась переходная матрица для решения дифференциальных уравнений.
