Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 10. Если L(f) = F(s), то
L{e**f(t)} = F(s-a). (1. Ill)
Теорема 11. Теорема изменения масштаба. Если Lf (t) =F(s), то
Lf{at)=-LF^. (1.112)
Теорема 12. Если Lf (t) = F(s), то
L{t«f{t)}={-\r J^-F [в). (1.113)
Теорема 13. Если Lf(t)=F(s) и существует lim (f(t)/t), то
OO
1Fr1HiF {s)ds- (1-п4)
5
Для получения выражений (1Л00) и (1.101), помимо методов, указанных выше, существует поистине огромное количество преобразований различных функций с помощью оператора Лапласа.
47
Чтобы избежать сложных операций при решении дифференциальных уравнений, созданы таблицы функций и их преобразований с помощью оператора Лапласа. Книга Е. С. Леви «Преобразования Лапласа» (Мак Гроу-Хилл, Нью-Йорк, 1969) содержит таблицы 1200 преобразований Лапласа в сжатой форме. Таблицы такого рода в основном были опубликованы в Макдоннелл-Дуглас (автор таблиц Леви создал их, работая в кампании Дуглас Аирк-рафт в Санта Монике, Калифорния).
С помощью преобразований Лапласа могут быть решены дифференциальные уравнения преобразованием результирующего оператора. Оператор Лапласа является в этом случае изображением решения дифференциального уравнения. Если функцию можно разложить в ряд, то изображение функции будет также изображением ряда.
Таким образом, если может быть осуществлено разложение в степенной ряд некоторой функции, то может быть найдено и ее изображение Лапласа, также представленное соответствующим рядом.
Если
OO
л=*0
ТО
1/(0=^2^)=5]-^-. (1Л15)
Несомненно, изображения Лапласа для рядов tn должны при этих условиях сходиться.
Пример 1. Если f(t)=U(t)—единичная ступенчатая функция,
то
L
L(J{t)=[e-stU{t)dt = \im \e~siU{t)dt=
L^-oo \ S J 0 ?->00 \ $ J S
На этом простом примере видно, что результат может быть получен только тогда, когда
Re(s)>0 или а>0,
где S= (а+/со) — комплексное число. Пример 2. Если f(t) то
Lii)=Hm{*L!L.-^)l=± при 5>0.
W ^0.1 S S2 JO S2
48
L 1 . .
=- ПОИ S >0.
О 52
Интегрируя по частям, найдем Пример 3. Если f(t) = eat, то
< OO OO
L eat = f e-<*-*>'rf/ = ( j—\ ^kdky с о"
где * = (s-a)/ и ^^ = /^-^^^(0-1) = —Ї— .
\s — a J s—а
Пример 4. Если f(t) =sin(coO. то
OO
г/о;м / ГЛ с/Л- ... — е~"5/ [s sin (о*) 4- w'cos ((»>/)] o L{sin (соЯ} = \ е~5Г sin mat =----——--—=-
j 52 + 0)2 $2 4-0)2
О
Пример 5. Если f(t) =cos (ю/). то
COS (cd/) = —--— sin (cd/);
(O <//
тогда
? cos («)/) = — Z — sin (cd/) = f—) (s) f —--) ;
I COS (u)/) = -
5
52 4- 0)2
Пример 6. Если f(t) =sh(0, то
Z {sh (a*)}=L je+<° ~ e " I = ^ e-<*——y\ e-{s+a)tdt;
о 0
I{sh («rf)>=-5-1 {e<°<}+4- ? (e_<,">;
1{Sh(o)O} = ^-/—-( 5— <
2 1
(1) 5 u) j 52 — u)2
Пример 7. Рассуждая так же, как и в примере 5, мы можем записать
Пример 8. Если /(/) =fe-*, и так как получим
?{/е—'}=¦ 1 1
(5 4- о)2 52 4- 2u)5 -Ь u)2
Пример 9. Если /(/)=е-'/х sin (<!>/), то
!{sin («>/)}=--— ; L{e-'tx sin (<о/)}=
52 4- «2 (s 4. 1/-0)2 4- u)2
4?
Z{e-'/*sin {(Ot)}=-
«2 + (2/?) s + (<o2 -(- 1/т2)
Пример 10. Если f(t) =s'm (at), то изображение решения дифференциального уравнения, которое имеет f(t) в качестве своего решения, может быть получено следующим образом:
/'(O = (OCOsK); /"(0=-°>2sin (iat)=—a?f(t).
Тогда
Z{sin (<ot)}=L{f"(t)-{-^f(t)=0}=s^L{f(t)} + + <ott{/(/))-s/(0)-/' (0)=0
в
(*2 + «>2Ж/(0>=*/(0)+/'(0);
^/W> = (^)/(°) + (^)/'(°)-Теперь /(O)=O и T(O)=(O.
Л Z{sin Ш)} =—-—.
Пример 11. Если /(/) =t sin (0/), то
d [ о) \ 2u>s
У W \S2 + U)2]
(52 -j- 0)2)2
Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование .Лапласа записывается в комплекс* ной интегральной форме как
9— /00
Для определенных преобразований Лапласа прямое использование этого интеграла для получения оригинала является наиболее быстрым методом достижения цели. Другими, наиболее распространенными методами нахождения оригинала обратным преобразованием Лапласа являются следующие.
1. Поисковые таблицы (наипростейший и наискорейший ме^ тоды).
2. Применение разложений в виде правильной дроби G(s) = = N(s)/D(s) *, которая может быть представлена как сумма элементарных дробей типа
А As+ В As* + Bs+ С
(as + b) ' (as^ + bs + c) 9 (as* + bs* + es -f d) общий знаменатель которых соответствует знаменателю G (s).
* D(s) имеет больший порядок, чем N (s).
50
3. Метод разложения G(s) в ряд по степеням s, который обратным преобразованием можно привести к степенному ряду по степеням /.
4. Метод решения дифференциального уравнения обратным преобразованием его изображения с помощью оператора Лапласа O(s).
Пример 12
1 S3 «2 + а)2 J Is2"1"^ 52 -J- о)2 ^ 52 4- u)2 J
=*+-^--cosKO + ^ sin Ы).
Пример 13
1-і J_?_W-i / ('~2> + 2 |=
U2—4S + 20J 1 (S-2)2+16 J
1(5-2)+16/ 2 ((S-2)2 +16} cos (4*) + -у е2' sin (40=е2< (cos (4/) _|_ _L sin .
— р2<
Пример 14
(S + l/t)4 1 1 У V
fit-"*
№ ""-'-{,тля?} • ¦
Тогда
L-ie-Ts е-^)А(<-Г)3
Функция может быть записана так же, как
-і ( е_Г* )
