Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
\(5 + 1/Т)4/
О t<T.
Пример 15
ls2(S+l)2j 1 (S +1)2 's+ l' S2 ' S)
= te-i + 2e-t+t — 2.
Пример 16
\s2— 2s — 3J 1 (s —3)(s4-1) J U — 3s-|-lJ
Это получено разложением на элементарные дроби
3s+ 7 _ А . Б
(5 —3)(s-b 1) —3 $4-1
51
или
3s + 7=A(s+l) + B{s-3) = {A + B)s+(A-3B).
Так как
Решая систему, найдем
A = A и В = -\.
Это даст:
,---^.^.Щ^-..
(в —3)(* + 1)
Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение
XX-}-X = f(t)
с начальным условием
Jc(O)=O
может быть решено с помощью изображений Лапласа
L{x'x+x) = Lf(tyt X L (х) + L[X) = Lf (0; X [sx (s) — X (0)] + X (s) = f (s); (xs+\)x\s) = f(s) + xx(Q)-y /(«) і тдг(0)
X(S)-
XS + 1 TS-I-I
•*• ^(0=^1 (^)+-^(0)(1-e-n
Второй член в правой части этого уравнения является дополнительным решением. Первый член — частное решение дифференциального уравнения. Частное решение дано в общей форме, поэтому можно рассмотреть ряд условий.
1. Если/(0=0, то F(s)=0 и
L-X Ш?П 0. Iw+ 1/
2. Если f(t)=U(i), то F(S)=XIs и
1-і [MLi-. (—M= і - е-"*.
Its+Il Is (TS +1))
3. Если f(t) = e~at, то F(s) = aj(s-\- а) и
1-х I-ЄІ1-1-/_!__) (е-«<-е-<<ч.
I (s + l/t)(s+a) I U-**/
52
Условия устойчивости
Устойчивость линейной системы оценивается по характеру ее реакции на импульсйое воздействие.
В этом случае изображение решения через передаточную функцию связывается с изображением импульсного воздействия в виде дельта-функции при / = 0. Тогда
x(s)=——.
После преобразований получим
18(0)=1, что следует из следующих операций:
8(0)-—«/(О).
at
.: Lb(0)~L — {U(()}=sLU{t) = s(—)=\.
dt \ s J
Изображением реакции системы на импульсное воздействие будет
TS-J-I
что приводит к
x(t)=L-1X (S)=I- е-"* = 1 • Є5«°люЛ
В связи с этим можно сделать следующие замечания:
1. Устойчивость процесса определяется местоположением полюса на плоскости 5. Когда Re(sn<mioc) <0> этот процесс устойчив, так как показательная функция имеет отрицательное значение степени, что приводит к уменьшению начального отклонения во времени; говорят, что система обладает асимптотической устойчивостью. При положительной степени показательной функции начальное возмущение неограниченно возрастает во времени; говорят, что система неустойчива. Наконец, если возмущение сохраняет во времени постоянное значение, система не обладает асимтотической устойчивостью.
2. Изображение реакции системы тождественно передаточной функции системы (как мы увидим в разд. 1.9). Применение преобразования Лапласа при решении стационарных линейных дифференциальных уравнений более высокого порядка в своей основе несет те же соображения, что и для процесса, описываемого уравнением первого порядка.
Выводы по характеру устойчивости системы, описываемой уравнением более высокого порядка (содержащей полиномы s), тожде-
* «полюс—значение полюса ^ — —J (примеч. ред.).
5&
ственны по своей идее с примером системы, описываемой уравнением первого порядка. Для того чтобы линейная система, описываемая дифференциальным уравнением /г-го порядка, была устойчива, все п полюсов должны быть либо меньше нуля, либо равны нулю.
1.9. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Структурные схемы появились в качестве наглядных образов проектируемых комплексных систем.
Связь между параметрами проектируемых систем и их динамикой может быть потеряна, если они представляются только системой математических уравнений. Альтернативой структурных схем является наглядное представление причинных отношений между входом и выходом каждого элемента системы. Причинные соотношения между входом и выходом каждого элемента системы называются элементарными передаточными функциями. Каждый блок структурной схемы имеет свою передаточную функцию. Однопара-метрические системы имеют один вход и один выход. Как правило, блоки структурных схем являются многопараметрическими и имеют более одного входа и выхода, связанных между собой векторно-матричными уравнениями. Простейшая структурная схема может связать вход с выходом системы, как это показано на рис. 1.9.
Главной характеристикой структурной схемы является сигнальный поток на входе и выходе в виде однонаправленного процесса с преобразованием его внутри блока подобно тому, как оператор передаточной функции действует на входной сигнал для преобразования его в выходной.
Так (как показано на рис. 1.10) оператор суммирования скрыт внутри блока и на блоке это действие изображается символом суммирования.
Символ разветвления потока сигнала на его пути представлен на рис. 1.11.
Эта система символов представляет:
а) элементы системы, содержащие передаточные функции;
б) суммирование потоков сигналов;
в) разветвление потока сигнала, который может быть использован для получения развитой системы блоков, содержащих алгебру управляющих передаточных функций, построения эквивалентных систем, упрощения передаточных функций системы и достижения большей наглядности проектирования и взаимодействия среди многих элементов комплексной системы.
Использование структурных схем при математическом моделировании систем с замкнутым циклом создает особую обозримость и доходчивость.
