Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Далее мы познакомимся еще с одним методом интегрирования дифференциальных уравнений вектора состояния.
1.11. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Нелинейными системами являются все системы, не являющиеся линейными.
Моделирование — это способ, обычно применяемый при исследовании динамики нелинейных систем, если нет общего метода их решения и анализа. В этой книге нелинейные системы рассматриваются для полноты изложения, а моделирование их непрерывных процессов обсуждается крайне сжато.
В моделировании встречаются два простых нелинейных процесса с жесткой нелинейностью и гладкой (гибкой) нелинейностью. Процессы с гибкой нелинейностью описываются дифференциальными уравнениями. Системы с жесткой нелинейностью характеризуются возможностью описания (по крайней мере ее части) разными уравнениями при разных условиях. Классическим примером гибкой нелинейности системы являются колеблющийся маятник с большими углами отклонения и осциллятор Ван-дер-Поля.
Нелинейные уравнения четвертого порядка встречаются при описании вращательного движения среди нелинейных уравнений, связанных с процессами модуляции и демодуляции в высокочастотных передатчиках и приемниках, при проектировании нелинейных фильтров в современных системах управления, а также в уравнени-
Ф(*2, *о)=Ф('2. 'і)Ф('і.'о).
(L 148)
(1. 149)
66
Структурная схема
Уравнение
ІІНН
TF
Рис. 1.16. Примеры элементов с гладкой нелинейной связью
Примеры гибких нелинейных элементов даны на рис. 1.16, а примеры нелинейных элементов, включающих реле, зоны нечувствительности и операторы абсолютного значения, представлены на рис. 1.17.
Структурные схемы как для гладких, так и для жестких нелинейных процессов обладают наглядностью, особенно при нахождении аппроксимирующих уравнений при решении нелинейных процессов в заданном интервале.
Примером упрощения, которое можно произвести с нелинейными системами, является реле с нелинейной мертвой зоной, показанное на рис. 1.17.
Такие реле характерны для открытых и закрытых управляющих систем. Если отклонения при *=0 малы по сравнению с зоной нечувствительности, динамика процесса не зависит от у. С другой стороны, если отклонения х лежат далеко за пределами зоны нечувствительности, вправо, динамика системы должна находиться под воздействием +у. Бели рассмотреть отклонения х, находящиеся на равном расстоянии справа или слева от зоны нечувствительности при достаточно высокой частоте по сравнению с частотой реакции системы, ступенчатая нелинейность может быть заменена наклонной прямой (аппроксимацией), угловой коэффициент наклона которой равняется уровню выхода, разделенному на половину размера зоны нечувствительности.
Подобные аппроксимации могут быть осуществлены и для других систем с нелинейными жесткими связями, а «качественный» линейный анализ позволяет предвидеть характеристики таких нелинейных систем.
Системы с гибкими нелинейными связями всегда могут быть выражены системой дифференциальных уравнений первого порядка в виде
*(0=f(X, U,/),
(1. 150)
где X—n-мерный вектор выхода; U-n-мерный вектор входа; t — независимая переменная.
Если t содержится в неявном виде, то (1.150) сводится к виду
X(O = I(X, U).
3*
(1. 151) 67
Структурная схема gggggggg
Уравнение
У1 Уо
J
и Реле с зоной -^нечувстви-тельности
У' -<
У D X
Зона нечувствительности
У L Уо
X
Уо
X0 X
Реле
Ограни-' читель
\Уо x>+D;
у = < О - D < х< +Di
\-Уо ^--0-
О - D < х<+2); /сх x<-D.
У=
+Уо
У0
X
-Уо
х.<0; х>0
Рис. 1.17. Примеры элементов с жесткой нелинейной связью
При U(O=O система будет автономной, и ее уравнение принимает вид
Х(0=/(Х(0). (1.152)
Хотя нелинейные дифференциальные уравнения не имеют общих методов своего решения в законченной форме, нелинейные вектор-но-матричные уравнения решаются численно на вычислительных машинах численным интегрированием.
Структурные схемы для нелинейных систем с гладкими связями строятся на базе фазовой переменной следующим образом:
1) по структуре нелинейного дифференциального уравнения системы;
2) в соответствии с порядком решения уравнения относительно высших производных;
3) применением блоков кратного интегрирования для определения выходного сигнала системы;
4) введением в контур обратной связи нелинейного оператора.
После построения структурной схемы системы можно осуществить с ее помощью решение либо линейных, либо нелинейных уравнений, производя поиск решения в виде рядов по следующим этапам.
Этап U Подготовка структурной схемы фазовой переменной для непрерывного процесса.
68
ш —
к(у)г
Рис. 1.18. Структурная схема в форме фазовой переменной y+kt/*=f
) у. . (
)
(-;
kt
Рис. 1.19. Структурная схема фазовой переменной y+kty=f(t)
Этап 2. Создание сходящихся аппроксимирующих многочленов для решения дифференциального уравнения упрощением входного сигнала и последовательным его преобразованием с помощью передаточной функции в последующий вид входного сигнала или начальных условий.
Пример 1.
Этап L Нелинейное дифференциальное уравнение
y-ky*=f{t\
для которого примем
#(0)=0, у(O)=Y9 /(0=0,
