Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
*?&=Q(x, у) \ />(*, y)dx. (1.160)
dy ду J
Таким образом,
R (У) = \ [Q (X9 у) ~ \ P (XУ у) Щ dy. (1.161)
Если (1.153) не обладает точным решением, функция h(x, у) из условия
d(kP)=d(kQ) п 1б2)
ду дх К ' >
может применяться как интегрирующий множитель.
Другим методом, который не содержит в себе прямого решения нелинейного дифференциального уравнения, является метод преобразования.
Этот метод позволяет с помощью специальной преобразующей функции зависимой переменной трансформировать нелинейное уравнение в линейное. Примером может служить уравнение Бер-нулли
-Г-=У/{х) + Уле(х)> (1.163)
OX
которое преобразуется в линейное дифференциальное уравнение
^L=(1 - п) f (X) z + g (X) (1 - п) (1. 164)
при помощи преобразующего соотношения z = yl~n. Интегрируя один раз, мы решаем уравнение Бернулли. Уравнение Риккати в обобщенной форме
% + *(х)У + Ь(х)у* = с(у) (1. 165)
может быть преобразовано в линейное дифференциальное уравнение второго порядка использованием преобразующего соотношения
* dx \b(x)z) V ;
73
И наоборот, однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
а' (х) +V (je) — + с' (х) z = 0 (1. 167)
может быть преобразовано в уравнение Риккати подстановкой dz/dx=d(x)yz. Мы будем встречаться с уравнением Риккати много раз, общим решением которого будет выражение
A(X)^kB(X) б8)
* C(x) + kD(x) V
где k — константа.
Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ
При цифровом моделировании мы имеем дело с непрерывными функциями [принадлежащими действительным значениям x(t)]t дискретными функциями [соответствующими кратным целым значениям аргумента х(пТ)=хп] и эквивалентными соотношениями между ними. Это объясняется тем, что на практике представляют интерес непрерывные системы, движение которых описывается непрерывными функциями, дискретные системы, чье движение описывается дискретными функциями, принимающими последовательные числовые значения, и системы, представляющие сочетание двух предыдущих, динамика которых описывается эквивалентными соотношениями. Кроме того, представляют интерес рекуррентные соотношения, которые применяются при описании как дискретных, так .и непрерывных процессов. Рекуррентные соотношения позволяют упрощать вычисление последовательности чисел (или последовательности значений функций), где значение каждого нового числа (или функции) вычисляется на базе текущего и предыдущего значения чисел (или функции).
Разностные уравнения, рекуррентные соотношения и их определения
Прежде всего определим разностное уравнение и рекуррентное соотношение. Разностное уравнение — это средство описания динамики систем. Оно имеет решение, описываемое дискретными функциями, областью решения которых являются действительные числа. Рекуррентные формулы позволяют определить, например, 100-е число на основании 99-го и предыдущих чисел. Обычно в литературе применяют запись, по которой трудно выявить отличие решения разностного уравнения от рекуррентной формулы.
74
Например, уравнение
X(t)=Xoe-«+iT)
является решением непрерывного процесса, описываемого уравнением первого порядка (X+X=O)1 содержащего «смещение во времени» при начальном условии х0. Для дискретной функции решение во времени, представляемое в форме (пТ+уТ), имеет вид
Эта функция приводится к рекуррентной на основании выражений
В рекуррентной форме мы имеем зависимость п-го члена {Xn} от ранее вычисленного числа {Хп-\}- Следовательно, полученное уравнение является рекуррентным уравнением. Таким образом, рекуррентное уравнение, связывающее друг с другом во времени последовательности чисел в соответствии с выражением Хп=Х(пТ+уТ), является/гакже разностным уравнением.
Если у = 0, то числовая последовательность может быть отнесена как к ее AZ-му значению, так и к n-му интервалу времени пТ.
Если уфО и индекс п означает порядковый номер вычислений, осуществленных с помощью рекуррентного соотношения, то последовательность чисел {Xn} означает состояние системы к моменту времени t = (п+у)Т.
Ряд дифференциальных уравнений, содержащих фазовый сдвиг, рассмотрен в следующих главах; здесь же нам необходимо отметить это обстоятельство, чтобы подчеркнуть различие между рекуррентными и разностными уравнениями.
В данной книге рекуррентные формулы записаны с одинаковыми знаками и не включают ошибок вычисления, выходящих за рамки ошибок округления чисел. Рекуррентные формулы получаются при осуществлении численного дифференцирования, когда последовательность Xn аппроксимируется X(t) \пТ. Остановимся подробнее на проблеме аппроксимации.
Рекуррентная формула
X1
X1
' = е~т X
может быть приведена к виду
.Y1(O=AT0 е-' при t = nT
или
X2(t)
А"0е-</+в1> при t = nT, S1=COnSt,
или
Xb(t)
(A0 +62)е"' ПРИ t = nTf е2 = const,
или, наконец,
^4(0 = (^0 + 62)е~<'+,l) при і--=пТ, S1 и e2 = const.
75
Предполагаем, что Єї и 82 — неизвестные ошибки, возникающие от неточного представления зависимости от времени щи X0, Это могут быть ошибки, возникающие вследствие отбрасывания членов ряда, ошибки операторов при управлении вычислительными операциями, ошибки при небрежности введения данных и длительном хранении в памяти, ошибки программирования.
