Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ряд промодулированных импульсов = 2/(лГ)в-"*г 0 ___
Каждая строка в колонке 4 является непрерывной функцией, везде хорошо определенной, чье основание (на интервале под дельта-функцией) равно f(nT). Ряд смодулированных импульсов, образованный суммированием по колонке 4, является непрерывной функцией, хорошо определенной на всем интервале, которая может быть преобразована с помощью операторов Лапласа и Фурье. В колонке 5 показано преобразование с помощью оператора Лапласа последовательности смодулированных импульсов.
Из табл. 2.2 видно, что последовательность смодулированных импульсов, преобразованных с помощью оператора Лапласа и ее обратное преобразование может быть осуществлено с помощью соотношения
OO
L (F* (/)) = 2 / (пТ) е-"*г Д F* (s); о
L-I(F (s)) = 2f(nT)b(t-nT).
О
85.
Предположим, z = est\ эта пара преобразования Лапласа переводит в форму Z-преобразования, которое записывается как
F[Z)^f[UT) *-A Z(/(/)»);
о
/*Jg / (пТ)8(/-пТ) Д Z-i(F(г)). о
В данной книге с целью обзора мы приводим Z-преобразование для некоторых важных функций и операций.
Рассмотрим функцию f(t) = t. Z-преобразование функции f(t) :получается следующим образом:
OO
Z (t) A Z 2 (пТ) Ь (t - ItT)=(OT) Z-* + (T) г-1 + (2T) z~2 +... + о
+ (^)^ + ... = 7^(^ + 2^-2 + 3^--3 + ...+^-« + ...) 72
(Z -1)2
Рассмотрим функцию f(t)=eat. Z-преобразование функции f (/) развивается следующим образом:
Z (efl<) = 1 + е*г г"1 + Z-2 + е3*Г г-3 +... 1 *
1 — efl7Y-i z — еаТ '
Z-преобразование единичной ступени U(t) можно получить, используя Z-преобразование экспоненциальной функции, приравнивая а к нулю.
Z (U (0) = Hm Z (*") = 1 im ( —^r) = .
.Z-преобразование функций синуса и косинуса можно получить в виде
Z(e«%-*..
Применяя теорему Эйлера
е^-' = cos"((o/)+У sin (u)/),
найдем
Zfsin (соЛ)=--—--
и
Z(COS(O)/))= ^1"^' . v v " z2—2z cos (0)/) + 1
Наиболее часто встречающиеся в книге пары Z-преобразований собраны в табл. 2.3 (см. Приложение Б для Z-преобразований).
*6
Z-преобразования некоторых функций
/(О
u(t)
t
2
*з
32
є""
-f.-
1-е-*'
а,_(1_е-в<)
1/2 2 а2 /
Z(F (5))-Z V(O)=F (Z)
S
J_ S3
_1_
1 1
(s + a)3 а
s (s+ а)
а
~&~(s +~а)" а
S3 + а)
7?
г— 1
<*- 1)2 Wz (г + 1) 2 (г — 1)3 7? (гг2 + 4г + 1) 6(*-1)4 n\yz + (1 —Y)IJi
-гг— 1 J z
(Tl)
Tze
-аТ
(z-e~aT)2
zT2e
-аТ
2(г-
-аТ\2
—2аТ
(і-
(г_е-«Г)3
г-аГ)
(,_1) (z-e~aT) Tz (1-е-аГ);
(г—1)2 в (г— I)(г — е~аТ) (аТ—іуГг z
(z—\f + 2д (г— 1)2 д2 (г—1) д2 (г-е~аГ)
: +
Продолжение табл. ?.3
F(s)
f (О
Z(F (s))=Z(/ (O)-F(z)
O)0
52 + о)2 S
«2 + ^0
52-0,2
6-а
(s + а) (s + O (Ь — а) (S+с) (S + и) (S + О
s (S+ a) (S + Ь)
ab (s + Q s(s + a) (s + b) _1_
(в+а)(S-M) (в+ с) _<*>р
(S +0)2 + 0)2
s + а
(s + a)2 + o)^
sin O)0/ COS «о*
sh (о)0/) ch (о)0/)
(<? — д)е-в' + (*—<?)е
-ы
1 +
а —6
с + Ь (с — д)е аг а (6 — Qe
-ft/
(а— b)
(a-b)
-at
-bt
-et
+ •
(b—u)(c-u) (u—b)(c-b) (a—c)(b—c)
e~at sin (O)0/) e—e/ COS (O)0/)
z sin-fopF)
z2 — 2z COS (о)0Г) + 1 2Г [z — COS (0)рГ)] 2Г2 — 2z COS (0)(,7) + 1
z sh(црГ) 2г2 — 2z ch (о)0Г) + 1
z\z— ch(o)0r)] гг2—2гг ch (о)0Г) + 1
*-e-*r г — e
(•-О*
г— e
-ьт
UZ
г—\ + (a-b) (z-e~aT) (и- b) (z-e-aT)
CZ
b(c — u) z ^ u(b — c) z
z-l (u-b)(z-<TaT) (u-b)(z-e-bT)
(b-a)(c-a)(z-iTaT) (a-b) (c-b) (z-e~bT) +_?_
(д-с) (ft-c) (г-е_сГ) _ze~aT sin (о)0Г)_
^—2Ze-07COs (o)^)+ e
-2аГ
2Г2—2>e~gr COS (0)рГ)
z2— 2ze~aT cos (о)Г) + e~2ar
Теоремы преобразований
Теорема смещения. Если функция f(t) имеет Z-преобразование Zf (/) = F(Z)1 и если kT— действительное положительное число, а k — целое положительное число, то
Z [/ (* _ kT)] = z~*F (z); Z [/ (/ - = *F (*)•
Теорема конечного значения. Если функция /(f) может быть преобразована с помощью Z-преобразования, Zf(t)=F(z)t то
lim/(^) = Hm f(nT)=UmzF(z).
t-+0 л-*0 г-voo
Теорема начального значения. Если функция /(f) может быть подвергнута Z-преобразованию Zf(J)=F(г) и если функция F(z) не содержит полюсов вне единичной окружности или на ее границе, то
lim /(Z)=Hm f(nT) = lim[^-F(z)\.
2.4. ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Обратное Z-преобразование обладает рядом особенностей и свойств. Как уже указывалось, Z-преобразование имеет следующий вид:
Z /(0 = Z/*(0 = Z2 /(пТ)Ці-пТ)=F(Z).
Обратим внимание на то, что функция f(t), строго говоря, не равна функции /*(/), однако при Z-преобразовании функция принимается равной функции f*(t).
Данное соотношение несправедливо при обратном Z-преобразовании, что видно из следующего неравенства:
Z-lF(z)f^f(nT)b(t-nT).
Например, при
ZU(t) = -f—x
U(t);
cos(arf), если соГ=0, 2я, 4я,...; 1 + sin (orf), если о)Г=0, я, 2я, Зя,...; ch(arf), если (D=O; e-at есЛИ а=о.
Это означает, что при одном и том же Z-преобразовании данной функции f(t) существует множество функций g(t), чьи дискретные
89
значения приобретают значения f{nT), тождественные g(t). Это свойство можно наблюдать на рис. 2.1.
