Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
/п=0 для всех п,
тогда
Xn—Axn.
Так как
то
Подобным образом
Ял—і — Ахп_2>
Xn = A2Xn.
Xn — Л3хЛ_3;
--АпХп
Все это приводит к векторно-матричной записи [см. уравнение (2.3)] как к средству распространения дискретных состояний в направлении п равных временных интервалов через п повторяющихся переходов.
В табл. 2.3 представлены Z-преобразования, которые полезны при решении разностных уравнений, обеспечивая связь функций во
ITiAUU Ес/?И ^W(Z)I(Z—А)] имеет замкнутую форму, изображение частного решения обычно находится по таблице Z-преобразований.
93
временной области, s-области и z-области. Кроме того, как будет показано, они полезны для упрощения получения разностных уравнений при моделировании.
2.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ B ВИДЕ КОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Одним из полезных свойств разностного уравнение является их возможность написания в виде конечных и бесконечных рядов. В общем случае мы имеем дело с представлением разностного уравнения в виде беконечных рядов, т. е. с выражениями вида
Частный случай представления разностного уравнения может иметь вид
С его помощью вычисляется дискретная функция хп, представляющая реакцию системы на дискретное возмущающее воздействие.
В качестве примера получения и решения разностного уравнения рассмотрим исходное дифференциальное уравнение
xx-\-x=Q(t) при Jc(O)=O,
которое приводится к разностному уравнению вида
Xn=е-^ Xn^1 + (1 - е-^) q^1. (2. 4)
Передаточная функция для этого дискретного процесса записывается в виде
X (z) = \ — е~г/т Q(z) ~2—(Гт/х' Используя разложение в степенной ряд, получим *
X(Z)=(I- е-7*) (Z-' + е-г/* Z"2+е-2'* г-3 +...) q (z),
которое при обращении и отбрасывании членов выше третьего порядка примет вид**
Xn = (I- Є-ГЛ) (q^1 + е-Г/х Qn_2 + е-2г/х Qn_zy
Это выражение характеризует конечную память выражения (2.4). Она полезна при моделировании систем, описываемых разностными уравнениями, у которых T приблизительно равно т. Кроме того, оно полезно при вычислении с помощью вычислительных машин или при ручном счете результатов воздействия шума на дискретные системы, описываемые разностными уравнениями.
* Отражает бесконечную память системы на Q воздействия.
** Конечная память Q воздействия (три члена в этом примере).
94
Наконец, на основании сказанного выше можно показать, что если x(z) записана в функции Q(z), то бесконечный ряд становится дискретной формой интеграла свертки
t
x(t)=^h(t-x)Q(x)dx.
о
Рассмотрим дисперсию шума на выходе как результат его прохождения через систему, описываемую разностным уравнением, в виде конечного ряда, вычисление которого не представляет особого труда.
Такое разностное уравнение имеет вид
При возведении в квадрат оно будет выглядеть следующим образом.
4==22a/a'Q*-iQ*-'-
Стационарная возмущающая функция * в виде белого и несмещенного случайного или квазислучайного шума приводится к дисперсии выходного сигнала через дисперсию в виде
Заметим, что дисперсия передаточной функции, выраженной бесконечным рядом, больше суммы квадратов коэффициентов в системе с конечной памятью.
Возвращаясь к нашему примеру системы первого порядка, напомним, что конечная память разностного уравнения видна из выражения
хпа (1 - е-'/*) (Q^1 + е-гл Q^2 + е-агл Q^3 +...); при возведении его в квадрат получим
х\S ( 1 - Є-ГЛ)2 (QU + е-** Q„-2 + Є-47У* (?^ + .).
Если допустить отсутствие смещения (EQ = O), стационарность
(EQrt=EQn-i = EQrt_2=...)» взаимную независимость (E(Qn^1X XQn-2)=0) случайными (или квазислучайными), Qi можно прийти к передаточной функции дисперсии вида
«?. (1 _ Є-7^)2 ( 1 + Є-2ГЛ _|_ е-4Г/х + # „ )в __9Q
* Признаки: стационарности -** E (Xn) = E (^-1) ; отсутствия смещения E (Xn) = 0; белого шума E(ХпХт)тфп = 0.
95
Заметим, что это дискретное выражение представляет теорему Парсеваля
OO
o2 = Ja2(0 фл,
о
где h(t) является импульсной переходной функцией системы, а Ф спектральной плотностью входного сигнала.
В определенных случаях передаточная функция дисперсии может быть записана несколько иным образом. В этом случае
о2 _(i_e-^)2 l-e-7^
О* (l-e"2^) H-Є-7*"
При нестационарном шуме отношение дисперсий может быть представлено в виде
QX2_(l-e~rn2
которое приводит л рекуррентному соотношению дисперсий разностного уравнения
а2 =е-2^ , + (1—е-^о^
2.7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ ВЫБОРОК И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
При синтезе дискретных систем, которые аппроксимируют непрерывные системы, необходимо, чтобы читатель был способен осуществлять замену непрерывного процесса дискретным. Такую замену можно осуществить с помощью специальных быстродействующих устройств для получения дискретных значений сигнала в строго определенные интервалы времени, его преобразования в соответствии со структурой преобразующих операторов и преобразо* вания результирующего сигнала в аналоговую форму.
Таким образом, для завершения синтеза разностных уравнений при переходе от аналогового процесса к дискретному вводятся устройства получения дискретных значений сигналов для их дальнейшего преобразования с помощью передаточной функции к сигналу на выходе.
