Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем в основном рассматривать два типа интегрирования — определенные и неопределенные интегралы.
Определенный интеграл задается как
ь
y(b) = y(a) + $f {x)dx, (8.1)
а
в то время как неопределенный интеграл задается как
y(x) = y(a)+jf(t)dt. (8.2)
а
Определенным интегралом вычисляется одно число, которое является площадью под кривой, ограниченной функцией, а неопределенный интеграл — это осуществление операции, обратной взятию производной от интегрируемой функции, вследствие чего образу-
208
ется первообразная функция, а интеграл может принимать множество числовых значений в зависимости от произвольной постоянной.
В этой книге данное различие является маловажным, так как предсказывающая — корректирующая концепция численного интегрирования дифференциальных уравнений может быть рассмотрена как последовательность перемежающегося определенного и неопределенного интегрирования. В зависимости от того, какой способ для схематизации выберет читатель для численного интегрирования в его деталях, имеет смысл изучать оба понятия.
Таким образом, мы будем изучать определенные интегралы с точки зрения квадратур (вычисления площади под кривой) и неопределенные интегралы с точки зрения интегрирования дифференциальных уравнений.
Сначала рассмотрим определенные интегралы.
8.1. ОПРЕДЕЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Вычисление площади под произвольной кривой обычно осуществляется с помощью замены ее функции (известной, но трудно интегрируемой аналитически) аппроксимирующей совокупностью более простых легко интегрируемых функций.
Интегрирование в этом случае сводится к поиску, например, степени аппроксимирующего многочлена произвольной функции, а затем интеграла от него.
В классической математике такая аппроксимация встречается наиболее часто. При соответствующем выборе коэффициентов полинома степени п он обеспечивает получение достаточного аппроксимирующего выражения исходной функции.
Аналитические подстановки или другие методы аппроксимации при решении определенных и неопределенных интегралов настолько привлекательны, что почти все специалисты по численным методам находят новые пути для решения многих классических и некоторых новых задач.
Несмотря на то, что велик соблазн осветить здесь методы интегрирования некоторых сложных функций, сосредоточим наше внимание все-таки на классических разработках, которые просты и несложны в применении. *
Читателю должно быть известно огромное количество хороших математических методов численного интегрирования, разработанных в последние 20 лет в связи с внедрением цифровых BM и применением численных методов в решении сложных технологических задач.
Конструкции, системы связи, системы управления, проектирование ^летательного аппарата, проектирование химических предприятий — это только некоторые области, где моделирование систем с помощью различных матриц и функций численного интегрирования, которые, как правило, нейтрально устойчивы (при большом шаге интегрирования), привело к новым понятиям интегрирования.
8 493 оно
Специалисты по строительной механике разработали специальные формулы численного интегрирования для интегрирования своих «дифференциальных уравнений прочности». Специалисты-аналитики по управлению разработали формулы описания процессов в частотной области. И специалистами по моделированию были разработаны специальные формулы одноэтапного интегрирования в истинном масштабе времени.
Несмотря на то, что подобного рода задачи могут встретиться, все-таки основное внимание нами будет уделено классическим методам, которые являются общими и широко распространенными для большинства функций, легко поддающихся аналитической обработке.
Кроме того, следует отметить, что по этим классическим методам имеется обширная литература.
Интегрирование методом трапеций
Если мы аппроксимируем функцию f(x) на ограниченном интервале а^.х^.Ь линией, соединяющей точки на границах интервала, то можно написать уравнение для аппроксимирующей функции по интервалу как
(jc) = (»-*)/(«) + (*-")/W. (8.3)
b — а
Интегрируя (8.3), найдем
\у{х)ах=(Ш±Ш)(Ь-а). (8.4)
а
Уравнение (8.4) вычисляет площадь под прямой линией интерполяции между конечными точками. Это называют интегрированием методом трапеций, так как на каждом шаге площадь -замкнута трапецией, образованной прямыми линиями, соединяющими точки ординат, двумя ординатами и отрезком ее абсциссы. Если интервал велик, то интегрирование методом трапеций может привести к большой числовой ошибке интегрирования. Уменьшение этой ошибки возможно при применении правила трапеций на меньших интервалах независимой переменной.
Если вычисление осуществляется для равно отстающих друг от друга интервалов Да:, интегрирование методом трапеций принимает вид
^/(х)^ = Ах(^ + /ь(а + Ах) + /(а + 2Ах)+...+^). (8.
5)
Метод трапеций при интегрировании не является самым простым (более просто интегрирование по Эйлеру, по видоизмененным
210
методам Эйлера, прямоугольное интегрирование), и его формула не дает наименьшую ошибку при минимальном объеме вычисления, однако он прост в применении, полезен в поверочных расчетах и легко запоминается.
