Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Обычный метод изучения влияния интегратора на числовую устойчивость системы интегрируемых уравнений — это подстановка формульного выражения интегратора (в явном или неявном виде) в интегрируемые дифференциальные уравнения таким образом, чтобы образовать разностные уравнения. Параметрами этого разностного уравнения интегратора являются коэффициенты, получаемые с помощью исходного дифференциального уравнения, и величина шага интегрирования. Устойчивость разностных уравнений изучается на подготовленных диаграммах устойчивости, показывающих комбинации коэффициентов дифференциального уравнения и размеров шага интегрирования, при которых интегрирование будет обладать числовой устойчивостью.
Представленные в табл. 7.2 и 7.3 Г-интеграторы не нуждаются в анализе подобного типа. Эти интеграторы обладают параметрами с регулируемой устойчивостью, которые можно выбрать таким образом, чтобы сделать процесс интегрирования не только устойчивым, но и высокоточным.
Достаточно сказать, что если коэффициент в формуле интегрирования содержит в себе фазовое смещение, параметры коэффициента усиления и размер шага интегрирования, то можно осуществить устойчивое и точное интегрирование системы уравнений.
206
Глава 8. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В этой главе рассматриваются классические численные методы интегрирования. Метод численного интегрирования, представленный в гл. 7, относительно новый и практически мало применявшийся (приблизительно было проделано 100 моделирований за время написания книги). Даже этот ограниченный опыт, однако, указывает на то, что он является гибким и значительным методом интегрирования.
Была проделана работа по сравнению Г-интегрирования (которое обладает гибкостью при проектировании) с классическими методами, которые не всегда удобны для решения задач.
Классические методы включены для полноты содержания, так как некоторые из них особенно полезны при решении разностных уравнений и при цифровом моделировании.
Выводы уравнений для ряда методов здесь опущены, так как могут быть найдены в таких прекрасных книгах, как, например, «Численные методы для исследователей и инженеров» Хэмминга.
Как упоминается в гл. 7, существует большое количество численных методов. Здесь же представлены те из них, которые могут быть пригодны в моделировании. Критерии, по которым обычно производят выбор алгоритма, как правило, включают точность, скорость, устойчивость и простоту.
При проектировании могут быть введены как полезные численные интеграторы я-го порядка, так и интеграторы, имеющие запаздывание с периодом, равным /г/2, которое нежелательно с --очки зрения устойчивости.
Указанные выше обстоятельства необходимо иметь в виду особенно, если речь идет о моделировании сложных (больших порядков) систем в истинном масштабе времени, когда в контур включен человек.
Такого типа моделирование часто характеризуется периодом времени (размером шага интегрирования) от 0,05 с до 0,1 с.
Например, формула моделирования четвертого порядка, которая включает оценку скорости на основании последних четырех периодов выборки может в замкнутых контурах с обратной связью вызывать запаздывание 0,1—0,2 с.
Моделирование системы с замкнутым контуром с собственной частотой в 1 Гц и такой большой задержкой может привести к фазовому смещению от 16 до 32°. С такими данными ни ручное, ни моделируемое автоматическое управление не только нежелательно, но и недопустимо.
Большинство управляющих систем оперирует с фазовым смещением не более 3°.
207
С другой стороны, при исследовании траектории классические интеграторы дают погрешность порядка
где п — порядок формулы интегрирования.
При небольшом T анализ ошибки в классическом интегрировании указывает на то, что для повышения точности желательны интеграторы более высокого порядка.
При рассмотрении особенностей использования классических численных интеграторов целесообразно иметь в виду следующее:
1. Какие методы более пригодны для получения квадратур (определенное интегрирование) и какие более пригодны при неопределенном интегрировании дифференциальных уравнений.
2. Какие методы применимы при моделировании в истинном масштабе времени.
3. Какие методы применимы при моделировании в произвольном масштабе времени.
4. Какова устойчивость данного цифрового интегратора (т. е собственная устойчивость применительно к моделированию системы).
5. Какова точность каждого метода по минимизации и распространению дисперсии.
6. Какая временная задержка (среднеинтегральная задержка) может ожидаться при применении конкретного интегратора.
Этот параметр при умножении на наивысшую частоту, представляющую интерес, является оценкой фазового смещения, связанного с интегратором, и таким образом является оценкой степени влияния формулы интегрирования на замкнутые обратные связи в системе моделирования с замкнутым контуром. Правилом—указателем является сведение фазового смещения при моделировании в замкнутом контуре к градусу или около того. Это дает значения для оценки размера шага интегрирования, которые необходимы для моделирования непрерывного процесса.
