Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
219
чальными условиями. В этом случае возможно выбрать подходящий интервал интегрирования и формулу интегрирования, которая точна для данного интервала.
8.5. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
Альтернативой к ликвидации вводимого при вычислении запаздывания является выбор среднего значения функции на интервале, а не ее значения на его границах.
Например, можно начать решение с начальных условий у = О, х = 0. При интегрировании с помощью формулы интегрирования Эйлера
Уп-Уп-\ = {Ьх)Уп-і
необходимы условия выбора интервала Да;.
Самым простым способом является экспериментальное определение Ах, при котором интегрирование дифференциального уравнения будет точным (зависит от специалиста по аналитике).
Рассмотрим решения этого дифференциального уравнения при X = 0,05; 0,1; 0,2 и 0,3. Результаты сведены в табл. 8.3.
Таблица 8.3
Решение уравнения dy/dx=e~y—х2
X Точное решение у Решение методом Эйлера
Д*=0,05 Ajc=0,10 Д.г=0,2 Алг«0,3
0,0 0,0
0,1 0,09498 0,09694 0,09900 — —
0,2 0,17977 0,18261 0,18557 0,19200 —
0,3 0,25389 0,25672 . 0,25964 — 0,27300
0,4 0,31667 0,31872 0,32077 0,32506 —
0,5 0,36731 0,36786 0,36833 — —
0,6 0,40488 0,40329 0,40152 0,39756 0,39333
0,7 0,42839 0,42407 0,41942 — —
0,8 0,43686 0,42923 0,42119 0,40395 —
0,9 0,42929 0,41782 0,40582 — 0,35277
1,0 0,40477 0,38895 0,37264 0,33749 —
Сравнение решений, полученных численным интегрированием, с точным решением показывает, что точность решения зависит от размера шага интегрирования. В основном это верно для всех численных интегралов, даже если размер шага интегрирования явля-
220
ется частью «ответного времени» * дифференциального уравнения.
Недостатком метода Эйлера являются вводимые систематические погрешности смещения фазы и запаздывание (экстраполяции) на каждом шаге. Метод может быть модифицирован (модифицированное интегрирование Эйлера) и приводит к лучшим результатам, т. е. к большей точности, по существу при том же методе и том же объеме работы, или к той же самой точности, но при меньшем объеме работы.
Это аналогично получению формулы метода трапеций для средней точки, полученной в разд. 8.3.
Задачей является преобразование интеграла
х п+\
f y'{x)dx, (8.37)
при использовании формулы средней точки (см. разд. 8.3).
Мы хотим предсказать следующее значение у на основании настоящих и прошлых значений независимой переменной.
Предсказанное срединное значение приводит к
Л+і = 0я-і + 2(Д*)і,;. (8.38)
Используя предсказанное значение, можно вычислить наклон прямой в предсказанной точке решением дифференциального уравнения
Рп+1=/(хп+и Pn+1) (8.39)
и затем применить правило трапеций для получения корректировки вычисленной точки:
Уп+1=yn+Y (Pn+i + Уп). (8.40)
Коррекцией называется уточнение значения уп+\. Мы применяем при этом срединный наклон в интервале.
Короче говоря, этот метод состоит из трех этапов.
Этап 1. Пишем среднее значение функции для поиска предполагаемого значения уп+\, задаваемое формулой
Рп+і = Уп-і + 2(Ьх)уп. (8.41)
Этап 2. Вычисляем производную при предсказанном значении, которая определяется с использованием дифференциального уравнения, описываемого системой
pn+i = f (хп+и рп+х). (8.42)
* Приблизительное время, необходимое для перехода из одного состояния равновесия к другому, строго применимо только к дифференциальным уравнениям, независимой переменной которых является время; однако это понятие применяется более широко.
221
Этап 3. Вычисляем значения #п+ь применяя интегрирование методом трапеций:
Уп+і = Уп + -^-(Уп + УІ+і). (8.43)
Этот процесс предсказания и коррекции приводит к наименованию этого этапа интегрирования, как численное интегрирование прогноза—коррекции.
Ряд алгоритмов прогноза и коррекции представлен в конце этой главы; они могут применяться при нахождении неопределенных интегралов дифференциальных уравнений.
S.6. НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В нашем предварительном анализе мы допустили, что обладаем величинами зависимых и независимых переменных при начальной или исходной точке. Однако алгоритму необходимы не только начальные значения, но и более ранние значения. Предшествующие значения могут быть получены двумя способами. Они могут быть вычислены на BM или вычислены вручную аналитически. Здесь представлены оба метода.
Ручной метод вычисления основан на применении разложения функции в ряд Тейлора
y(x+Lx)=y(x) + Lxy'{x) + -*fy"(x) + .... (8.44)
Производные для разложения в ряд Тейлора могут быть найдены из дифференциального уравнения повторным дифференцированием. Количество членов зависит от размера шага и желаемой точности. Все это может быть легко получено путем эмпирических непрерывных оценок вплоть до получения желаемой точности.
Метод машинного счета основан на повторном применении формулы корректировки. Если нам задана начальная точка (Jt0, Уо), мы можем оценить предыдущую точку (х-и y_i) методом неизмененного интегрирования Эйлера, оперируя в обратном направлении следующим образом:
JC_і-^Cq " JC,
= i/o — Дхуо (первая оценка у^1). (8.45)
