Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Дискретная система, которую можно использовать для аппроксимации этой непрерывной системы, показана на рис 7.8.
В обратном контуре e~sT является показателем неявной функции дискретных систем, где прямой цикл вычисляется раньше, чем можно просчитать и замкнуть обратный контур. Эта система представлена для г-области на рис. 7.9.
Передаточной функцией дискретного процесса является
Х(г)= \Tz{yz + (\-y)} 20)
F(Z) z-2 +(UTy- 1) z Н-ШХ1 — Y) "
F(S) *kJ*(S)
/-e"sr ~X(S> Ae *r "X(S)
5
Рис. 7.8. Линейная дискретная система первого порядка с постоянными коэффициентами — аналог линейной непрерывной системы первого порядка с постоянными коэффициентами
192
<« T<-> I I z-/ J
Рис. 7.9. Дискретная аппроксимация при записи в форме г-преобразования
Характеристическими полюсами дискретной системы второго порядка являются
^,00 = ^1^+^-^^-1)2-4^(1-7)}1/2. (7.21)
Одним полюсом непрерывного процесса является
5ГЮЛЮс=~*. (7.22)
Мы можем подобрать полюсы дискретной системы второго порядка с замкнутым циклом при помощи полюса непрерывной системы первого порядка с замкнутым циклом. Для этого, приравнивая v=l, устраним один из корней дискретной системы второго порядка. Затем выберем X так, чтобы подобрать полюс оставшейся дискретной системы в соответствии с полюсом непрерывной системы.
При Y=I передаточной функцией дискретной системы станет X (z) _ ITz
F(Z)
z + (k\T— })
(7.23)
с полюсом при
ііолюс— х • 2A)
Для того чтобы подобрать полюс непрерывной системы в соответствии с тем же полюсом дискретной системы, % выбирается из условия
Z11
? t
:Є°полюс -
:Є-^=1-АХГ.
Решая (7.25) относительно X, найдем
1 — e~kT
X = -—-— .
kT
(7.25)
(7. 26)
Подставляя у и К в передаточную функцию и перемножая, получим выражение
X (Z)
'0-
(7. 27;
F (z) (* —е~*г) '
которое обращается в разностное уравнение
^e-^-i-Kl-e-"-)^..
Из всего этого видно, что выбор X и у путем подбора соответствующего корня приводит к интегрированию, которое является точным при однозначном решении непрерывной системы и при ступенча-
(7. 28)
493
193
гой реакции. Оно является хорошей аппроксимацией при реакции вычисляемой системы на произвольные функции возмущающего воздействия и неспособно стать неустойчивым независимо от того, какой размер шага интегрирования выбран (так как величина полюса передаточной функции разностного уравнения есть e~kTt которое всегда меньше, чем 1, если ?>0).
7.7. ЭМПИРИЧЕСКИЙ ВЫБОР ОТНОШЕНИЯ ФАЗЫ К КОЭФФИЦИЕНТУ УСИЛЕНИЯ
Так как интегратор с переменным отношением фазы к коэффициенту усиления приводит ко многим, хорошо известным цифровым интеграторам с фиксированным интервалом, то эмпирический выбор опережения и коэффициента усиления не представляет ничего иного, чем метод проб и ошибок при выборе интегратора, который используется при данной системе уравнений.
Методика эмпирического подбора X и у состоит в следующем.
1. Приравниваем у = Х=1.
2. Образуем контрольный случай при WB^WU где WB — частота выборки дискретной части сигнала и W1 — частота информации, представляющей интерес.
3. Приравниваем WB=lOWi и выбираем у, для того чтобы самым лучшим образом подобрать контрольный случай.
4. Выбираем X, чтобы лучше подобрать соответствующий контрольный случай.
5. Повторяем этапы 3 и 4.
При использовании интегратора нулевого порядка, приравнивая Хі=Уі = і, преобразуем интеграторы переменного отношения опережения к коэффициенту усиления в прямоугольные интеграторы. Прямоугольное интегрирование обладает тем свойством, что нет необходимости вводить дополнительные корни в дискретную систему.
Таким образом, непрерывная система п-го порядка преобразуется в дискретную систему п-го порядка; дальнейшая подборка коэффициента усиления может означать выбор корней дискретной системы в соответствии с корнями непрерывной системы.
И, наконец, эмпирический «настроечный» интегратор может быть упрощен во многих случаях по следующему правилу:
1) у влияет на промежуточную неустойчивую характеристику, а не на установившийся режим;
2) Хф\ может влиять на устойчивое состояние; при изменяющемся X устойчивое состояние нужно проверять.
При полете летательных аппаратов модель системы является примером моделирований, где различные номинальные условия полета требуют различных значений величин опережения и коэффициента усиления (в зависимости, например, от того, убраны или выпущены закрылки, убрано или выпущено шасси, велико или мало число Маха). Для каждого условия у и X подбираются повторением четырехэтапной «настроечной» методики. Эти коэффициенты
194
усиления и фазы хранятся и используются при моделировании, когда осуществляются соответствующие условия (например, если рукоятка закрылка поставлена в нижнее поло-
/ ч
/
/
л1 10
X=I
/ \
/ V I
/
0,5 1,0 1,5 2,0 Время (сенунды)
2,5 30
Рис. 7.10. Линейная непрерывная система второго порядка с постоянными коэффициентами
Рис. 7.11. Импульсная переходная функция аппроксимированной системы второго порядка при Г=0,001 с
