Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
При поиске рациональных формул интегрирования мы осуществляем абстрактные рассуждения и ищем наилучший способ нахождения средних значений функции, ее производной на интервале и, наконец, интеграла, по которому оценивается ошибка округления и отбрасывания, подбирается смещение фазы и амплитуды, т. е. осуществляется поиск наиболее добротных формул численного интегрирования в данной задаче.
В конце концов аналитическое интегрирование сравнивается с приближенным численным интегрированием, с помощью которого оцениваются различия между методами интегрирования для конкретной задачи. Ясно, что здесь содержатся трудности как при техническом анализе самих интегральных кривых, так и при вычислении площади под кривой дискретной функции. Интегрирование методом трапеций может быть чрезвычайно полезно и достаточно точно вследствие возможности выбора необходимого количества интервалов.
8.2. ОШИБКА В ИНТЕГРИРОВАНИИ МЕТОДОМ ТРАПЕЦИЙ
Мы не предполагаем осуществить здесь вывод формул интегрирования или формул ошибок, а собираемся предложить таблицу наиболее употребимых из них и свести их к виду, который пригоден при моделировании. Рационально, однако, начать изучение ошибки с простой формулы интегрирования, для того чтобы затем понять ошибку более сложных формул. Следуя Хеммингу, мы исследуем ошибку отбрасывания в алгоритме интегрирования с помощью метода трапеций использованием разложения подынтегральной функции в ряд Тейлора. Сравнивая оба результата, можно определить ошибку, связанную с процессом аналитической подстановки в численное интегрирование.
Запишем интегрируемую функцию в виде разложения в ряд Тейлора
/(*)=/(a) + (x-a)/>)+i?^/>) + ... (8.6)
и подставим его в обе части формулы интегрирования методом трапеций; тогда левая часть даст
/И+Ґ И+St^SL г (а)+... (8.7)
в то время, как правая часть примет вид
^ [/(«)+(*-«)/'И+Ji=?H-/r («)+...+/(*)] + •.
где Ax= (6-а). 8*
(8.8) 211
После сокращения одинаковых выражений в обеих частях уравнения получим формулу ошибки при отбрасывании членов:
=(іг - т){b ~af f"{а)" itr}L г {а) - - • (8-10)
Если допустить, что наибольшую величину в формуле ошибки
имеет первый член разложения ряда *, можно записать
12
или более полно
(8.11)
?^_(*-«)3/»(В) при а<Ь<Ьш (8.12)
Если рассматриваемая функция и используемый интервал интегрирования приводят к большим значениям членов более высокого порядка, то эта формула ошибки безусловно непригодна.
Тем не менее многие практические технические задачи позволяют использовать выражение (8Л2) при оценке ошибки интегрирования с использованием метода трапеций.
Не так важна формула характерной ошибки при интегрировании методом трапеций, как важен сам метод ее получения. В этом частном примере мы применили разложение в ряд Тейлора для интегрируемой функции для того, чтобы получить величину ошибки, связанную с отбрасыванием членов ряда. Как альтернативу, можно применить разложение функции в ряд Фурье для определения влияния отбрасывания членов ряда на точность в частотной области.
Другим аппроксимирующим полиномом может быть полином Чебышева f(x), который дает иной вид формулы ошибки интегрирования.
Толкование результатов каждой из упомянутых формул ошибки различно, величина же ошибки постоянна; ошибка характеризуется только формулой интегрирования, а не аппроксимирующим полиномом, используемым для оценки формулы ошибки.
На рис. 8.1 показано, что при вогнутых функциях значение интеграла от интегрирования с помощью метода трапеций будет несколько больше, чем точное значение, в то время как при выпуклых функциях это значение будет несколько ниже. При интегрировании волнообразных функций интервалы должны устанавливаться таким образом, чтобы ошибки аппроксимирующего ядра на одном интервале были скомпенсированы ошибками на другом ин-
* Это нехарактерное допущение для оценки эффективности скоростных формул интегрирования, в частности, такого, как Т-интегрирование, так как целью является сделать интервал наибольшим.
212
Рис. 8.1. Иллюстрация ошибки ограничения при интегрировании методом трапеций. Источник: Дж. М. Смит «Научное исследование на микрокалькуляторе», Вили, 1975. С разрешения издателя
тервале. Формула ошибки при интегрировании методом трапеций может быть преобразована к виду
е ж _(b-a)Ax2 flf (б) а < е ^ b (8> 13)
Для оценки ошибки с помощью (8.12) и (8.13) необходимо выявить значения минимальной и максимальной ошибки, а по ним среднюю ошибку интегрирования на интервале.
Иногда рассматривают значение наихудшей ошибки. Существует еще целый ряд альтернатив. В таком случае, что же является критерием оценки ошибки?
На этот вопрос нет простого ответа. С точки зрения прикладных наук ошибка, определяемая (8.9), имеет большее значение, чем те, на которых наиболее часто акцентируется внимание в книгах по численному методу. Процесс вывода формулы ошибки является более фундаментальным вопросом, чем вопрос возможности вычисления инженером или ученым собственной формулы ошибки при рассмотрении своей конкретной задачи.
