Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем использовать оценку предварительного значения у в соответствии с дифференциальным уравнением для получения производной и предшествующего значения у.
Формула корректировки с помощью метода трапеций может быть затем повторена для того, чтобы итерационно скорректировать предварительную оценку, если не будет достигнута желаемая точность при вычислении.
Системой уравнений для процесса коррекции является
y'-i = f(x-x, г/_і)(первая оценка
222
У-\=Уо--^(у'о+у'~\) (вторая оценка у^1); (8.46)
yLi =/(х^и У-г) (вторая оценка yLx)\
Если после нескольких итераций предшествующее значение у не стабилизировалось, размер шага интегрирования может быть уменьшен вдвое; просчитывается предварительное значение Уп-уъ и процесс повторяют для вычисления Уп-1-
Альтернативой является применение значения уп-\/2 для оценки значения уп+г/2 и повторение процесса, чтобы получить опережение в половину шага вплоть до уп+ь
Эти значения затем применяют в качестве начальных значений в алгоритме интегрирования прогноза и коррекции.
8.7. ОЦЕНКИ ОШИБКИ И ИЗМЕНЕННЫЙ ПРОЦЕСС ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ
Только что обсуждавшаяся формула прогноза является формулой интегрирования с использованием средней точки и имеет соответствующую формулу ошибки
•п=-^-Уш(в). (8-47)
Формуле коррекции, представленной в разд. 8.2, соответствует формула ошибки
*к= ~ Уш (в). (8.48)
Так как формула ошибки содержит противоположный знак, разница между прогнозируемым и скорректированным значениями имеет вид
У и -Ук~ («/точн - О - (уточн - ек). (8.49)
Таким образом, при любом заданном шаге разница между прогнозируемым и скорректированным значениями выражается как
--^ Lx* у™ (В). (8.50)
Кроме того, мы видим из (8.49), что приблизительно на четыре пятых разница содержит составляющую предсказания и на одну пятую — составляющую коррекции. Для продолжения процесса интегрирования нужно продолжить процедуру прогноза и коррекции.
Если мы прогнозируем с помощью уравнения
pn+l = yn^ + 2Lxyn, (6.51)
то можем сразу же изменить значение этого прогноза, применяя предшествующее значение разности прогноза и коррекции и формулу
Mn+I = Pn+I ^j-[Pn-CnY (8.52)
223
Тогда мы применим дифференциальное уравнение для вычисления измененной производной
/лЛ+1 = /(JC11+i, //гл+1), (8.53)
которая затем корректируется путем
?Л+і = Уп + — (W11+1 + уп) (8.54)
и приводит к окончательному значению
УЛ+і = ?я+і +Y -^ii+i). (8.55)
Методика прогнозирования, коррекции, а также последующего нового изменения является чем-то вроде стремления к пределу, к которому мы стремимся в решении дифференциальных уравнений, рассчитываемых вручную.
Более прогрессивные методы также громоздки.
8.8. ЕЩЕ ОДНО ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Существует большое число наиболее употребимых алгоритмов прогнозирования и коррекции, пригодных для решения ординарных дифференциальных уравнений.
Этими самыми популярными формулами использования наклона в точке являются прогнозирующие выражения Эйлера и среднего значения. Они задаются в виде
Уп+і = Уп + (Ьх)уп при є— Л*2;
4//і+і = 4/*-і+^(д*)4/„ при ? —а*3
и обычно применяются в соединении с формулой коррекции метода трапеций
Ал:
Уп+і = Уп+ — (У'п+ЛУ'п) при ?~л*3-
Другим, часто применяемым, чрезвычайно полезным является метод Адамса. Формулы четвертого порядка прогноза и коррекции Адамса даются в виде
Ал:
Уя+1=Уп+-уг (55(/„ - 59i/n_j -f 37*/„_2 - 9уп_3) при • ~ Дх5;
Ал:
Числовая устойчивость этих методов и ошибки округления связаны с переменой знаков коэффициентов, что может привести к известным трудностям.
224
Методы Рунге — Кутта
Методы Рунге—Кутта основываются на разложении неявной функции в ряд Тейлора с сохранением членов более высоких порядков в результате сочетания численных оценок производных функции на определенных интервалах независимой переменной. Так как методы Рунге—Кутта являются еще одним вариантом применения метода разложения в ряд Тейлора, они ограничены и не могут быть применены для функций, которые не могут быть разложены в ряд Тейлора, или если интегрируемая функция имеет разрыв, то решение осуществляется вплоть до разрыва и зате*м снова продолжается, начиная от разрыва.
Метод Рунге—Кутта второго порядка (метод Хана) может быть представлен как
У«+і=Уіі + уП(*і + *2) при є —Дх3, (8.56)
где It1 = LXf(Xn, уп)\ k2 = kxf(xn-\-Lx, уп +Zt1).
В методах Рунге—Кутта применяется интегрирование Эйлера на каждом шаге. Так, чтобы вычислить (8.56), необходимо сначала вычислить k{ и k2. Для вычисления k2 необходимо вычислить предыдущее значение y(y+kx). Очевидно, что это равноценно методу Эйлера. Таким образом методика содержит первоначальное применение метода Эйлера для вычисления первой оценки yn+i, которая затем применяется вместе с Xn + Ax для вычисления значения производной при х(п + Ах)у чтобы получить k2. Затем, применяя A1 и й2, образуют (8.56).
Другой формой уравнения Рунге—Кутта второго порядка является
Уп+і=Уп + к2 при є~дх3;
*i = А*/(*п* Уп\ h = А*/(хп + -у-, Уп+~У (8. 57)
