Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Метод 1
а) найдем или составим таблицу значений интересующей нас функции с интересующей точностью;
б) подготовим интерполирующий полином, который проходит через интересующие нас выбранные в таблице точки и охватывает интересующий диапазон аргумента;
в) установим максимальную погрешность аппроксимирующего полинома в интересующем интервале;
г) если точность удовлетворительна, запишем полином в гнездовой скобочной форме и используем его для приближенной оценки функции.
Если таблица отсутствует или нет времени для ее составления, используют метод 2.
Метод 2
а) подготовим аппроксимирующий многочлен функции в интересующем интервале;
б) применим схему экономизации Чебышева (см. разд. 9.2) для уменьшения порядка полинома;
в) проверим полином на точность по интересующему интервалу аргумента;
г) если полином не достаточно точен, включаем большее количество членов в первоначальный аппроксимирующий полином до экономизации Чебышева и применяем метод Чебышева для того, чтобы снова проверить полином;
д) если полином достаточно точен, запишем в гнездовой скобочной форме и используем для вычисления функции.
Вопрос о точности оценочной функции достаточно сложен.
Инженеры часто ограничиваются точностью функции, равной Ю-3. Другие исследователи утверждают, что достаточно ограничиться процентом погрешности оценочной функции, равной Ю-3. В чем же разница? Для того чтобы оценить е-* при л* = 3, по первому критерию необходимо 12 членов разложения ряда Тейлора е~* в окрестностях нуля. Второму критерию необходимо только восемь членов ряда. Почему? Ответ простой, потому что первый критерий ошибки является абсолютным:
абсолютная ошибка = истинная — приближенная. Второй же критерий является относительным критерием ошибки:
истинная—приближенная абсолютная ошибка
относительная ошибка= -— =--
истинная истинная
Так как абсолютная ошибка меньше истинной, то знаменатель должен быть больше, чем числитель, и таким образом критерий относительной ошибки удовлетворяется при меньшем количестве членов ряда, чем критерий абсолютной ошибки.
237
Другим обстоятельством является то, что большинство инженеров привыкло оперировать процентами (или относительной ошибкой). Хотя при высокоточном моделировании в современных теоретических разработках необходима высокая абсолютная точность, в обычном техническом моделировании удовлетворяются несколькими процентами относительной точности и, следовательно, небольшим количеством членов ограниченного бесконечного ряда исследуемой функции.
9.2. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
В этой главе рассматриваются решения с помощью полиномов, которые могут применяться для аналитических решений, а не только при самом моделировании, при скоростном моделировании разложения функций, представляемых медленно сходящимися рядами. Существует возможность модификации рядов к виду, обеспечивающему более быструю сходимость с помощью методики экономизации Чебышева или с помощью рациональных методов приближения полиномом. Аппроксимация полиномом функции, разлагаемой в ряд, обладает тем преимуществом, что может быть записана в гнездовом скобочном виде и эффективно (быстро) с высокой точностью вычислена. Таким образом, вопрос заключается в необходимости улучшения сходимости аппроксимирующего ряда заданной функции.
Полиномы Чебышева могут применяться в уникальном процессе, обычно называемом экономизацией, для преобразования разложения функции в быстросходящийся полином. С помощью теоремы аппроксимации Чебышева можно преобразовать таблицы бесконечных рядов в быстросходимые ряды (погрешность которых известна). Эти полиномы затем должны быть записаны в гнездовом виде для вычисления с помощью скоростной функции. Из полиномов Чебышева можно составить таблицы отображения большого количества математических функций опережения (существующих в значительном количестве), что необходимо при вычислении скоростной функции. Из-за легкости преобразования процесс экономизации доступен различным специалистам, ввиду чего мы и останавливаемся на этих удивительных свойствах полиномов Чебышева и их применении в рядах для обеспечения наилучшей сходимости.
Полиномы Чебышева обладают пятью важными математическими свойствами.
1. Они являются ортогональными полиномами с соответствующей весовой функцией, определенной либо на непрерывном интервале, либо на ряде дискретных интервалов.
2. Они равно пульсирующие функции, т. е. изменяются между равным максимальным и минимальным значениями.
3. Нули полиномов Чебышева чередуются один за другим.
4. Все полиномы Чебышева удовлетворяются трехчленным рекуррентным соотношением.
238
5. Они легко вычисляются и обращаются в форму степенного ряда на основании исходной формы.
Все эти свойства образуют аппроксимирующую функцию мини-макс (т. е. в процессе приближения минимизируется максимальная ошибка). Аппроксимация Чебышева отличается от метода приближения с помощью наименьших квадратов, где минимизируется сумма квадратов ошибок. При приближении методом наименьших квадратов максимальная ошибка может принимать достаточно большое значение. В аппроксимации Чебышева средняя ошибка часто может принимать большое значение, а минимизируется максимальная ошибка.
