Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Определение полиномов Чебышева
Полиномы Чебышева определяются просто соотношениями
T0(X) = U (9.2)
Tn (х) = cos (tib)\ (9.3)
cos6 = x. (9.4)
Из (9.3) очевидно, что полиномы Чебышева ортогональны (в чем можно убедиться подбором соответствующего весового коэффициента), так как косинус является ортогональной функцией и cos (л0) является полиномом в степени п величины 0.
Отмечая тригонометрическое тождество
cos (п>-\- l)6-j- cos (п — 1)9 = 2 cos 0 cos до, (9. 5)
можем сразу же написать, что
Tn+l + Tn_x=2xTn. (9.6)
.•. Tn+1^xTn-Tn-1. (9.7)
Применяя это рекуррентное соотношение к полиномам Чебышева, можно легко получить последующие полиномы следующим образом. Так как T0=I и Ti = X1 с помощью (9.7) найдем
Т2 = 2хТ1—Т0 = 2х2—1.
И тогда, начиная с Ti = X и Т2 = 2х2—1 и снова применяя рекуррентную формулу (9.7), найдем
Т2 = 2хТ2— Ti = Ax3—Зх.
Продолжая подобным образом, можно образовать таблицу полиномов Чебышева:
T1 = X,
Т2 = 2х2-\,
T3=Ix3Sx,
239
Т5=\6х5-20х* + 5х,
Г6 = 32jc^ — 48jc4 -f 18jc2 — 1,
T7 = 64x7 — 11 2jc5 + 56jc3 - 7x,
Ts = 1 28jc8 - 256jc6 + 16CU4 - 32л:2 +1.
Заметим, что, кроме того, можно образовать таблицу степеней X в выражениях полиномов Чебышева, проводя решение относительно степеней X из этой таблицы:
х=Т ъ
х2 = (Т0 + Т2)/2,
*»=(37\ + Г3)/4,
*4=(ЗТ0 + 4Т2 + Т4)/8,
^ = (107\ + 5Г8 + Г5)/16,
*6 = (1OT0 + 15T2 + 6T4 + Г,)/32,
X? = (357\ + 21T3 + 7Г5 + Г7)/64,
je« = (35Г0 + 56T2 + 28Г4 + 8Гб + Г8)/128.
Важное свойство полиномов Чебышева состоит в том, что во всех полиномах степени п имеется коэффициент опережения 1 и что полиномы Чебышева (при делений на 2п~1) обладают наименьшим экстремальным значением в интервале
" —+1.
Не существует других полиномов степени Al, чьи коэффициенты опережения равны 1 и которые обладают меньшим экстремальным значением, чем
Tn (*)
max в интервале
г>л-1 '
-1<jc<+1.
Это является важным положением, так как утверждает, что если аппроксимировать функцию на интервале при помощи по-
линомов Чебышева, ограниченных п членами, максимальной ошибкой приближения будет
і /2я-1.
Разложим функцию f(x) в ряд с помощью полиномов Чебышева:
п
/W= 2 CinTn(X). (9.8)
Метод аппроксимации f(x) с помощью полиномов Чебышева (первоначально отнесенный к Ланкрозу) является простым в упот-
240
реблении и обладает улучшенной сходимостью любого ограниченного разложения функции f(x) в ряд. Рассмотрим применение этого разложения, содержащего:
1) написание ограниченного ряда аппроксимирующих полиномов f{x) в гнездовой форме;
2) представление этого разложения полиномом с выражениями полиномов Чебышева;
3) ограничение нового ряда одним или более двух членов;
4) представление полиномов Чебышева с помощью выражений; содержащих х\
5) представление этого полинома в гнездовой скобочной форме для удобства вычислений.
Например, если представить выражения функции в виде
/(х)=^алх* (9.9)
л=О
и переписать (9.9) в гнездовой скобочной форме
/{х) = а0 + х(а1 + х(а2+...+х(ая^1 + атх)...))9
то этот ряд можно привести к ряду полиномов Чебышева, начиная от внутренних скобок, в виде
лм-г + амх=ая^1Т0+аяТ19 (9. 10)
Можно умножить п—е скобочное гнездо
аоТ0+аіТг + .*.+аяТя (9.11)
na X и добавить к нему следующий коэффициент степенного ряда am_n_4, чтобы получить (л+1)-е гнездо. Тогда, применяя соотношения
XT0=T1; хТя=(Гя+1 + Т^г)129 (9. 12)
приводим степенной ряд в л-х скобках, осуществляя преобразование в (п+1) степенной ряд полиномов Чебышева следующим образом:
'-1Z-1 + "- + (+^^ + («o+f +
+ +^¦Jr0. (9.13)
Процесс получения коэффициентов на любой стадии разложения полинома Чебышева f(x) может быть наглядно изображен с помощью рис. 9.1. Здесь коэффициенты заданной стадии образуют коэффициенты следующей стадии в соответствии с этой схемой.
В этом методе коэффициент, связанный с m-м членом начального ряда
493
Коэффициенты при п- й •.
гнездобой скобке
Коэффициенты при (п+1) - й гнездобой скооке ап-2
Рис. 9.1. Процесс получения коэффициентов в разложении f(t) на полином Чебышева. Источник: Дж. М. Смит «Научное исследование на микрокалькуляторе», Вили, 1975. С разрешения издателя
преобразуется к соответствующему члену в разложении с помощью полинома Чебышева
ат_T (х)
Таким образом, если ограничить разложение полинома Чебышева f(x)> начиная с т-го члена, ошибка должна быть порядка Ят/г™-1, а не ат, что могло бы быть в первом приближении полинома (табл. 9.3). В этом смысле, говорят, что разложение Чебышева сходится быстрее, чем первоначальное разложение. Другими словами, если начальная аппроксимация функции была выполнена с точностью до некоторой величины, то аппроксимация полиномом Чебышева будет иметь почти такую же точность (при такой же ошибке) с меньшим количеством членов. Это и называется процессом экономизации.
Методика следования из (9.10) в (9.13) указывает основной способ получения аппроксимаций полинома Чебышева f(x) для п членов. Таблицы степеней х в членах полиномов Чебышева, представленные ранее и повторяемые здесь для удобства, пригодны для непосредственной подстановки степеней X при их эквивалентности полиному Чебышева:
