Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Студент или начинающий специалист относится осторожно к формулам ошибки, часто стремясь вывести собственную формулу для конкретной задачи. Оценка ошибки при числовой аппроксимации и при аналитических вычислениях не всегда может быть просто выражена, особенно при наличии неопределенных выражений. Анализ ошибки является сам по себе искусством.
8.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ СРЕДНЕЙ ТОЧКИ
При интегрировании методом средней точки используют среднее значение производной по интервалу интегрируемой функции, исходя из того, чтобы площадь под кривой была равна площади под аппроксимирующей функцией.
В этом смысле формула интегрирования методом средней точки Хэмминга особенно проста и является удобным введением в общий
213
метод получения аппроксимирующих многочленов при аналитической подстановке. Рассмотрим формулу интегрирования вида
J/Wrf*=.,/^) + w2f (?±*) . (8.14)
а
Коэффициенты весовой функции Хэмминга могут быть легко получены с помощью условия, из которого формула должна обеспечить при f(x) = l. Тогда
0-CL = W1. (8. 15)
В случае f(x) ~х имеем
#2_ д2 fa +b\ і /Q
-2-=Wi[-^r) + Wi- (8' 16>
Можно определить оба коэффициента Хэмминга, решая эти уравнения совместно:
\ 2 ) 2 [ 2 ) [ 2 ) ' ^
W1 = O- а.
Поэтому найдем формулу интегрирования методом средней точки в виде
ь
§f{x)dx = (b-a)f(t±?). (8.18)
а
Полученное рассмотренным способом интегрирование методом срединной точки приводит к интегрированию методом прямоугольников. То есть, площадь, образованная выбранным прямоугольником при среднем значении ординаты на интервале, тождественно равна площади под кривой на этом же интервале. Сначала, возможно, и кажется парадоксальным, что интегрирование методом прямоугольников практически эквивалентно интегрированию методом трапеций, т. е. формулы, основанные на одном значении /, могут быть по точности равносильны двухточечным формулам интегрирования методом трапеций.
На самом деле интегрирование методом прямоугольников может быть выполнено с желаемой точностью, если выбранная точка интервала удовлетворяет теореме о среднем.
Таким образом, мы еще раз убеждаемся, что интегрирование методом прямоугольников может быть выполнено с такой же точностью, что и аналитическое интегрирование функции, ограниченной на интервале, если они обладают равными площадями. Этот факт отражен в формуле (8.18).
И, снова, для того чтобы найти выражение ошибки отбрасывания, можно использовать ряд Тейлора
f(x)=fW + -^~± Г(в)+^ /» + •.., (8. 19)
214
где на основании подстановки в формулу (8.18) найдем выражение
• + 1HT^ /" И+-=ІЬ^_ /" (а), (8.20)
которое упрощается и принимает вид
{Ь-а? Г (а)
(8.21)
При a^Q^b
^ 20
Сравнивая (8.21) и (8.12), мы видим, что интегрирование с помощью средней точки методом прямоугольников является более точным, чем интегрирование методом трапеций.
Обобщая формулу интегрирования методом средней точки, найдем
а
+/(«+-^)+...+/(*-^)]+«.
где формула ошибки представляется как
?~ (*~~2*>А*2 /УУ(6) ПрИ а<8<6- (8'22>
Заметим, кроме того, что обобщенное интегрирование методом трапеций можно видоизменять включая конечные наружные точки интервала [а, Ь]. Видоизмененный метод трапеций представляется формулой ь
^/(л:)^ = Ал:[^ + /(а + Ал:) + /(а + 2А^) + ... + ^] +
+~[-f(a-bx) + f(a+bx) + f(b-bx)-f(b+Lx)l (8.23)
где ошибка, связанная с видоизмененным интегрированием методом трапеций, может быть представлена как
є= 11(*~*)А*4 /'"(в) ПРИ (я + Ал:)<6<(6+А;с). (8.24)
Еще одно популярное определение интегрирования
Правило Симпсона, вероятно, наиболее часто применяемая формула, которая имеет вид
2Длг
\ / W^=-j-(/o+4A + /2). (8.25)
о
21S
Связанная с ней формула ошибки имеет вид *
е = —/""(в) при 0<6<2Ajc.
Прекрасным свойством правила Симпсона является то, что с его помощью интегрируются кубические уравнения, даже если выбираются только три точки интегрируемой функции, и, кроме того, оно обладает незначительными ошибками при Ал; меньше 1/2.
Правило Симпсона может быть также обобщено (на четное число интервалов) в соответствии с формулой
f(x)dx = ^(f0 + 4fl + 2f2 + 4f3 + 2f4+... + f2n), (8.26)
X0
и его формула ошибки имеет вид
л,
I
90
/""(Є) при Jt0 < 6 < (Jt0+ 2/ZAJt). (8.27)
Вероятно, наипростейшей формулой обобщенного интегрирования является формула Эйлера—Маклорена
Xn
j /^)^=^(^. + /, + /, + /3 + ... + ^-
г2Ь =
(Цг) (/--/»-¦—(-?-) if^-A2^) + ^- (8. 28) Ее формулой ошибки будет
f Є/гД2*+2А*(2*+3) ||max|/(x)2fe+2n при _1<0<1; (8. 29)
1 (2*+ 2)! |Ц<Д1 1 F V
здесь ?2/i — число Бернулли.
Правило трех восьмых для определенного интегрирования представляется формулой
j / {Х) dx = (/о + 3Z1 + 3/2 + /3). (8. 30)
X0
Связанная с ним формула ошибки имеет вид
в =—-^- /""(0) при x0<e<x3. (8.31)
Для квадратур применяются два типа формул, если большинство значений интегрируемой функции в выбранных точках известно. Это формулы определенного интеграла Боде и формулы Ньютона—Котеса. Правила Боде для квадратур представлены в табл. 8.1, а формулы Ньютона—Котеса сведены в табл. 8.2.
