Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Формулы высокого порядка, такие, как формулы Ньютона — Котеса и формулы Боде, могут обладать некоторыми весьма нежелательными свойствами при больших п. Для некоторых анали-
216
тических и дискретных функций последовательность интегралов интерполирующих полиномов не сходится.
Таблица 8.1
Формулы Бодэ для вычисления определенных интегралов
Формула интегрирования
Формула погрешности
с 2Ax
\ f(x)dx = — (T/о + 32/1 + 12/2 + 32/3 + 7/4)
Xo Xt
^ f(x)dx = l^( Ю/о + 75/1 + 50/2 + 50/3 + + 75/4+19/s)
с Ax
\ f(*)dx = — <41/о + 216/j + 27/2 + 272/3 +
X0
Xt
X0
Xi
^ f(x)dx =
X0
+ 27/4 + 216/5 + 41/6) 7Ax
17 280
(751/0+ 3577/! + 1323/2 +
+ 2989/3 + 2989/4 + 1323/5 + 3577/6 + 751/7)
Xt
f(x) dx =
14 175
(989/о + 5888/1 — ^Sf2 +
X0
-10496/3-4540/4+10 496/5—928/6+5888/7+989/8)
JAxif VIW 945
275Ддг7/УІ (Є) 12 096
9A*9/vnI (6) 1400
8183Алг9/уш (Є) 518 400
2368АдгП/ х (Є) 467 775
Кроме того, коэффициенты этих формул интегрирования велики и содержат переменные знаки, при которых возрастает погрешность округления.
Формулы Ньютона—Котеса чаще применяются при больших значениях п в основном по этим причинам. При малых значениях они могут быть упрощены до хорошо известных формул, таких, как, например, обсуждавшихся ранее формул метода трапеций и формулы правила Симпсона. Несмотря на то, что правило Боде обходит недостатки, связанные с переменными знаками, в сравнении с формулами Ньютона — Котеса, при нем тоже есть проблемы сходимости для определенных, редко встречающихся функций.
Интегрирование методом трапеций приводит к приемлемой точности и погрешности округления, обладает приемлемым объемом вычислений интеграла любой функции. Оно рекомендуется для решения научно-технических задач, где необходимы небольшие абсолютные погрешности.
217
Таблица 8.2
Формулы определенного интегрирования Ньютона — Котеса при интегрировании функций, значения которых на концах либо не определены, либо неизвестны, либо представляют особые точки
Формула интегрирования Формула погрешности
Г ЗАд: J f(x)dx = — (/1 + /2)
X0
\ /(^)^ = -^(2/1-/2 + 2/3)
X0
^ /(д:)^ = —(ll/i +/2+ /3 + II/4) 9Г /'Т(і)
X0
J / (X) dx = (HZ1 + 14/2 + 26/3- И/4 + И/5) 140 J W
X0
С 7Ax J / (X) dx =-- — (611/! - 453/2 4- 562/э + 562Д - 5257ДДГ7 „, 8640 f (9)
-453/5+611/б)
Xt Г 8 А X ^ / (X) dx = — (460/! - 954/2 + 2196/3 - 2459/4 + 3956Д*9 V[II 14175 7 ;
+ 2196/5- 954/6 +460/7)
8.4. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Численное интегрирование неопределенных интегралов осуществляется методами, применяемыми для решения дифференциальных уравнений.
Например, если нам задано уравнение
¦?- = /(х,у), (8.32) dx
мы решаем его с помощью неопределенного интеграла
У=-У 0 + 1 f{t,y)dt. (8.33)
X0
Из уравнения (8.33) очевидно, что решение зависит от самого дифференциального уравнения. Поэтому основная задача неопре-
218
деленного интегрирования — выразить неопределенные интегралы в неявной форме.
Заметим, что неопределенные интегралы в явном виде
y=yo\f(t)dt (8.34)
X0
являются особым случаем решения дифференциального уравнения вида
Численное интегрирование уравнения такого типа можно выполнить аналитически, и его мы здесь не рассматриваем.
Наипростейшим алгоритмом численного интегрирования неопределенного интеграла является формула Эйлера
уп+1=уп+Ь*(-%)п. (8.36)
Здесь мы видим, что вычисление (уп+\) осуществляется на основании ранее вычисленного значения (уп) и его производной (dyldx)n, которая определяется обычно непосредственно из дифференциального уравнения, решаемого относительно у. Так как вычисление нового значения у основано на вычислении старого значения у' и старого значения у, оно относится к категории процессов с разомкнутым циклом, и новое значение у основано на экстраполяции предварительно известных данных с определенной погрешностью.
Процесс определения новых значений у представляет собой простой переход от одной области их значения к другой в соответствии с процедурой решения дифференциального уравнения. В целом метод состоит в том, чтобы, начиная с некоторых начальных условий (которыми являются Хо, уо), вычислять наклон, используя дифференциальное уравнение, заданное в виде
У'о=/(х0, Уо)-
Затем осуществляем переход на интервал h в направлении прямой, имеющей наклон, равный производной во второй точке, которую затем считаем новой начальной точкой. Процесс повторяем вновь. Если принимаются достаточно малые интервалы, то можно надеяться, что последовательность значений решения, представляемая этой методикой, будет находиться близко к решению дифференциального уравнения. В целом здесь есть все элементы решения дифференциального уравнения с помощью неопределенного численного интегрирования.
Для каждого шага в процессе численного интегрирования должна быть просчитана таблица значений х, у, у' и Д#. Кроме того, задача должна решаться не только в соответствии с особенностями дифференциального уравнения, но и в соответствии с его на-
