Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
х = Тъ
х* = (Г0 + Т2)12, *3=(ЗЛ-Кз)/4, ^=(ЗГ+4Г2 + Г4)/8,
^=(10^ + 57-3 + 7-5)/16. В этом способе степенной ряд вида
/(х)=а0+а1х + а2х2 +... +амхт может быть превращен в разложение полиномов Чебышева
Л*) = *о+*i T1 +b2T2+...bm T1n.
242
Таблица 9.3
N
Разложение fN(x)= 2 <*пХп с помощью полинома Чебышева л=0
Разложение в степенной ряд ПО X Разложение с помощью полинома Чебышева
/о =" 0O7^O
/l = ДО + а1х
/2 = Д0 + Яі* + ^2*2 («b+fjro + a^ + ^jr,
/з = Д0 + + 4- а2х2 4- д3*3
/4 = «0 + AiJf 4- 4" 4- #з*3 4- а4х4 (*о+т+т)г»+Ь+!?)Гі+ + («2 + «4) 7-2+ ("J") Гз + (^-) Г4
/5 = «0 + Яі* + A2-*2 4-4- Дз*3 4- д4*4 +
Для того чтобы этот процесс был точным, ряд должен быть записан в такой форме, где вычисляется f(x) при х на интервале —'і^а:^ 4-і. Записанное разложение в терминах полиномов Чебышева может быть заменено на полиномы через х на основании представленной ранее таблицы, переписываемой здесь для удобства в виде
T0=U T1=X9 T2=2x2-U Т3=4хг — 3х>
F5= 16*5—20jc3+5jc,
а затем упрощено с помощью алгебраических преобразований и записано в гнездовом виде для быстрого счета.
Предположение Хэмминга легко проследить на примере
у = ln(l+*)sx-x2/2 + ;c3/3, (9.14)
9*
243
чтобы наглядно представить метод экономизации. Прямой подстановкой вместо степенной X это разложение можно записать в виде степенного ряда с помощью членов, содержащих полиномы Чебышева, следующим образом:
(9. 15)
Отбрасывая последний член в степенном ряде (9.14), получаем погрешность (є), составляющую 0,25, а у (при X=I) в степенном ряде (9.15) при отбрасывании последних двух членов
8=1/12-1/4=-0,1666....
Это понятно, так как значение величины полиномов Чебышева меньше или равно единице для всех X на интервале О^дс^І. Таким образом, можно написать
</ = ln(l+*)--^- + i|b-^L, (9. 16)
обеспечивающую большую точность, чем обеспечена в (9.14). Это и есть процесс экономизации. Используя определения полиномов Чебышева, можно переписать (9.16) в виде
¦ у = Щ1+х)=*-±+-^--^+±.=х{\,25-0,5х).
Сравнение численных результатов экономизированного полинома второго порядка и неэкономизированного полинома второго порядка представлено в табл. 9.4. Экономизированное квадратное уравнение обладает меньшей средней ошибкой —0,0646, чем не-Зкономизированное квадратное уравнение 0,0795, и, кроме того, наименьшей максимальной ошибкой 0,1 при дс = 0,5 на интервале O^x^l.
Таблица 9.4
Сравнение экономизированных и неэкономизированных квадратных уравнений
X Точное Экономизированное у sjc (1,25-0,5jc) Неэкономизирова иное у^х—0,5х*
У о шиб ка у I ошибка
0,1 0,09531018 0,1200 —0,0246 0,0950 0,0003
0,3 0,26236426 0,3300 —0,0676 0,2550 0,0074
0,6 0,47000363 0,5700 —0,0999 0,4200 0,0500
0,9 0,64185389 0,7200 —0,0781 0,4950 0,1469
1,0 0,69314718 0,7500 —0,0569 0,5000 0,1931
244
Осуществив методы функциональной оценки, мы поняли, что записью полиномов в скобочно-гнездовом виде достигается точность пятого и шестого порядка с таким же количеством операций, какое требуется при оценке полинома третьего порядка без скобочной записи. Далее можно обнаружить, что при экономизации Чебышева можно обеспечить точность полиному высокого порядка за счет точности полиномов низкого порядка, значительно уменьшая тем самым количество числовых операций. Кроме того, можно заметить, что, применяя критерий относительной ошибки, можно уменьшить число требуемых членов полинома. Так, относительная точность полинома пятого порядка, полученная с помощью полиномов Чебышева, может быть эквивалентна неэкономизиро-ванному разложению полинома седьмого или восьмого порядка. Тогда, если полином Чебышева записать в гнездовой скобочной форме, он обеспечивает такую точность операциям, которая обычна в разложении полиномов свыше восьмого или девятого порядка. Таким образом, оценочная аппроксимация полиномом Чебышева в гнездовом скобочном виде уменьшает рабочую нагрузку в терминах относительной ошибки по сравнению с полиномом аппроксимации f(x) девятого порядка до ее величины, соответствующей приближенному полиному f(x) второго или третьего порядка. Это приводит к уменьшению объема числовых операций на порядок. В целом способ оценки математических функций предусматривает следующее.
1. Написать функцию с помощью полинома усеченного вида в терминах относительной ошибки.
2. Переписать выражение таким образом, чтобы интервал, в котором находится оцениваемая функция f{x), был равен —
^ +1.
3. Экономизировать ряд, применяя полином Чебышева.
4. Переписать аппроксимацию Чебышева в гнездовом скобочном виде.
5. Все это применить для численной оценки.
Численная оценка полиномов Чебышева
Полезно знать, что представленная здесь рекуррентная формула для получения полинома Чебышева
Тя(х) = 2хТя_1{х)-Тя_2(х)
может быть применена к численной оценке полиномов Чебышева. Начальное значение рекуррентной формулы может быть вычислено при T0 = 1, Тм=х.
Таким образом, разложение функции в полином Чебышева, однажды записанное, нет необходимости переписывать в степенной ряд от X1 а сразу же можно проводить численную оценку. Например, уравнение
