Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Смит Дж.М. -> "Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей" -> 73

Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.

Смит Дж.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. Под редакцией Чембровского О.А. — M.: Машиностроение, 1980. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): matmodicifmod1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 86 >> Следующая

В этом выражении k{ применено для того, чтобы при сдвиге на половину шага от Xn к Xn +Ах/2 определить yn + k\\2, откуда, учитывая хп + Ах\2 в соответствии с (8.57), вычисляется k2. И снова должно быть применено интегрирование по Эйлеру, чтобы осуществить первую половину шага и первый полный шаг путем оценок среднего значения скорости по интервалу.
* Еще один метод Рунге—Кутта может быть представлен в двух видах. Одним из них является
У«+1 = Уп+^ + ^+^ при—
Zt1 = ^Xf(Xn, уп); k2 = Lxf(xn + ±L, У*+*-?)' k3==kxf(xn-\-i\x, yn + 2k2 — A1).
225
Это является самым распространенным и удобным видом интегрирования методом Рунге—Кутта третьего порядка.
Другим видом этого метода Рунге—Кутта является система третьего порядка
k 3
Уп+і^Уп + ^^т^ при е~Дх4; Iz1 = LXf(Xn, уп); k2=Lxf(xn-\--^-, Уп + y)'' k3 = Lxf\xn-\——, у. + —).
Двумя наиболее употребимыми выражениями для численного интегрирования методом Рунге—Кутта четвертого порядка являются
»-+1 = «,.+-?- + ?-+-! + -?- при — Ад*
1гл = Ьх/{хп, уп);
k2 = LXfUn+^-, Уп + ^у,
k3=Lxf + Уп+—);
^=LXf(Xn + Lx, yn + k3)
и
V*+i=V* + T+^+JT + *t при — А** Ьі = Ьх/(хп, уп);
ks=bxf(xn+2j-9 уа-\-*2-^-);
*4=ЛХ/(ХЛ + ЛХ, Уа+*з — *2 +ПОТОЧНОСТЬ этого интегратора четвертого порядка зависит от формулы остатка, которая выражает погрешность пропорционально Ax5. Хемминг указывал на справедливую критику этого метода, связанную с неучетом всей предыдущей информации. Однако, следует отметить, что и эти методы интегрирования легко использовать в общих случаях.
Все методы разложения в ряд Тейлора основаны на его огра« ничении, которое может быть хорошо определено при следующих преобразованиях:
226
*</(' + П> = (і+Г«+™+^+...)/(«).
чьи амплитудные характеристики в частотной области ограничены таким образом, чтобы ограничить многочлен 5.
Методы Рунге—Кутта, как и любой метод вычисления в конечных разностях, который основан на ограничении членов разложения в ряды Тейлора, имеют ограничения в частотной области по характеристикам передаточной функции ограниченного ряда Тейлора.
Спектральные характеристики интегралов Рунге—Кутта определяются количеством членов, оставленных -в разложении ряда Тейлора.
Кроме того, если встречаются разрывы в переменной состояния, алгоритмы Рунге—Кутта, которые основаны на уменьшении вдвое интервала интегрирования до тех пор, пока сравнение полного шага с половиной шага не приведет в этих условиях к выбору размера шага интегрирования, неэкономичны. Вдобавок методы Рунге—Кутта не обладают формулами остаточного члена *, из которых получаются выражения для оценки погрешности, и они не дают возможности оценить на каждом шаге ее величину как в алгоритмах прогноза, так и в алгоритмах коррекции. Это является самьця слабым местом метода Рунге—Кутта, которое может привести к слабо регулируемым погрешностям алгоритмов. Все же, даже с этими ограничениями, легкость программирования и применения интегрирования методом Рунге—Кутта на больших BM делает эту формулу привлекательной. Он обладает рядом удобных свойств по учету начальных условий и позволяет оперировать ими автономно.
При моделировании или применении численного интегрирования в отборе данных на микрокомпьютерах автор рекомендует изучение других методов, в частности метода интегрирования с настройкой (гл. 7) и алгоритмы предсказания и коррекции этой главы.
Во всех методах, представленных в этой части, рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка, записываемое в виде */'=/(#, у), так как даже в более общем случае дифференциальные уравнения я-го порядка могут быть сведены к п дифференциальным уравнениям первого порядка. Следовательно, эти методы применимы к системам уравнений или к уравнениям высоких порядков.
* За исключением примененных недавно интеграторов типа Фельберга Рунге — Кутта.
227
Специальные методы интегрирования
Можно получить ряд методов решения дифференциальных уравнений высшего порядка, содержащих специальные алгоритмы предсказания и коррекции. Несмотря на то, что они не могут быть признаны самыми целесообразными для численного решения дифференциальных уравнений, тем не менее эти методы упрощают вычисления.
Например, алгоритмы прогнозирования и коррекции Мильна для дифференциальных уравнений первого порядка имеют вид
4Дл:
п к
Уп+i = Уп-г + -т- (2УП - У'п-1 + 2Уп-2)
к!
Уп+\ — Уп-\-ЗДд:
3 Ax
'(Уп-1 + tyn + y'n+l)
при є ~ Ах5;
2ax
при є~Ал:7.
уя+1 = уя_з + — (7^+^32^+12^+32^+7^)
Формулы прогнозирования и коррекции Мильна для дифференциальных уравнений второго и третьего порядка записываются следующим образом:
' 0Л+1 = Уп—2 + З(Уп-Уп-і) + А*2 (У'п - Уп-1)
П
К
„ , ^x . ,* А^2 при е~Лх5;
Уп+1 = Уп+ —(Уп+1 + Уп)--&- (Уя+1 -Уп)
П
К
уп+х = */л_2 + 3 (уп - у^1) + — (утп - уп_х) Уп+1 = Уп + ^(Уп+1-У^)-^(Уп+1-У:)+ при в~Д**.
АлгЗ
(утп+1+утп)
120 ^+1
Для систем дифференциальных уравнений вида y' = f(x* У* ZY< z' = g(x9 у, z) по Рунге—Кутту можно записать
Уп^=Уп+\+^
z z при є ~ Ax3,
+ 2 І 2
*і = А*/(.*я, уп, Zn);
Ix = LXg[Xn, уп, Zn); k2 = Lxf[xn + Lx, yu + ku Zn + I1); l2 = Lxg[xn+Lx, yn + ku Zn + I1).
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed