Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
197
*3„> і
СХ3<-і "Ч ' І Лог""0 " 8 V преоельноги
і
= "Г
насыщения
Рис. 7.16. Программа БМ для моделирования нелинейной контрольной задачи
2,5
2,0
1,5
1,0
В рассматриваемом примере применялся выборочный период в 0,5 с; отношение выборочной частоты к собственной
W±= 2, b.c.* Wn 0,356 Гц
что близко к шенноновскому пределу, при котором возможна перестройка непрерывной функции в дискретную.
Характеристика дискретной системы при ступенчатом входе 2,5 показана на рис. 7.17 для различных значений Y- Контрольный случай был получен сведением шага интегрирования к 0,0001. Размер шага интегрирования является небольшой гарантией того, что при изменении Y от +3 до —3 фазовое смещение в решении не достигнет ±0,3 м-рад и величина интервала распечатки не будет меняться на величину, большую чем 5-10~4.
Из рис. 7.17 видно, что допустимая приемлемая подгонка последовательности решений при большом размере шага с помощью контрольного решения происходит при 1—1 и Y^ 1.
7*0 f р*?-\ \ \ I Исходный вариант
7=7 vi ^*—•I
w J \ <\ / / /.-
Ш } 7= 1,9 Реакция на единичный. импульс
Ui
о
Время (секунды) Рис. 7.17. Результаты моделирования
* ч. в. с. — число выборок в секунду.
19
7.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ФАЗОЙ
Интегрирование с переменной фазой сходно с интегрированием при переменном размере шага, критерием которого является достаточная точность, при двухэтапном интегрировании с размером шага, равным 1/2, или при интегрировании в один этап. В этом случае фаза имеет незначительное опережение. При необходимости производится дополнительное опережение фазы и еще раз применяется критерий точности.
Таким образом, при недостаточной точности, достигнутой при первом этапе интегрирования с опережением по фазе, осуществляют последующие этапы до тех пор, пока критерий не удовлетворен.
Критерий точности удовлетворяется при у, который согласуется с допускаемым первоначальным шагом и обеспечивает интегрирование следующих этапов. При подборе фазы вычисление производится со «стороны контура» за тысячную долю секунды по сравнению с интегрированием, которое обычно протекает за время этапа в 0,1 с. Это позволяет регулировать точность численного интегрирования в реальном масштабе времени. В отличие от интегрирования при переменном шаге интегрирование с переменной фазой протекает при одинаковом шаге, выбираемом с точки зрения требования задачи по точности.
Обсуждаемый здесь алгоритм переменной фазы — это простейший вариант первоначального ознакомления с рассматриваемым методом. Очевидно, существует большое количество алгоритмов, в которых будет допускаться Г-интегрирование, для того чтобы прийти к адаптивным видам. Те из них, с которыми автор часто сталкивался, являются вариантами этого основополагающего понятия.
С практической точки зрения параметры фазы и коэффициента усиления могут применяться для компенсации систематических ошибок вычисления (а не округления случайной) независимо от источника. При разработке крупномасштабного цифрового или гибридного моделирования или при разработке цифровых управляющих систем их элементы часто разрабатываются различными группами в различное время, а иногда и в различных местах. Когда эти части объединяются вместе и собираются в целую систему, обнаруживается нестыковка в виде небольших фазовых смещений во многих элементах. Это приводит к дополнительной задаче устойчивости системы. В этих ситуациях формулы интегрирования переменного соотношения фазы и коэффициента усиления используются для интегрирования уравнений движения с параметрами фазы и амплитуды и у), подобранными эмпирически либо на основании хорошо подобранного контрольного примера, либо по оценке суммарного фазового и амплитудного смещения, возникшего в процессе моделирования.
199
7.9. СВОЙСТВА ИНТЕГРАТОРОВ
Сравнивая табл. 7.2 и 7.3, мы видим, что дискретно скомпенсированные интеграторы проще непрерывно скомпенсированных. Эта особенность приводит сама по себе к сравнительно простому представлению о свойствах дискретно скомпенсированных интеграторов; далее они будут изучаться более детально. Непрерывно скомпенсированные интеграторы представлены только ради полноты изложения.
Предопределение числовой ошибки в любых, даже самых простых случаях управляющих систем чаще всего весьма затруднительно. Как для цифрового моделирования, так и для цифрового управления большее практическое значение представляет способ определения ошибки системы с помощью системы уравнений.
Полезной мерой характеристики передачи ошибки числового интегратора (его сглаживающей способности при цифровом управлении или воспроизведении в реальном масштабе времени) является его реакция на шум, который характеризуется дисперсией «скачка» от шага к шагу процесса численного интегрирования. Как для дискретных, так и для непрерывно скомпенсированных чисновых интеграторов «скачок» от шага к шагу задается как
ЬХп = (Хп-Хп_х)=\Т[уХп + {\-у)Хп„х]. (7.33)
Дисперсия AXn задается средним значением AXn2 как oi.v = E {\X2n)=W*E (у>Х2п+2у (1 - у) XnXn^ + (1 - Y)2 ^L1),
