Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
W = Jb (7.40)
и
»=*в(-у-Ь (7.41)
Этот метод приводит к амплитудной и фазовой информации в ограниченном интервале (со^сов/2), где сов — частота выборки. Следуя этому методу амплитуды, спектр и фазовое смещение связывают с интегратором преобразования нулевого порядка.
Передаточной функцией интегратора при преобразовании нулевого порядка является
(Z)=V + *1-?). (7.42)
XTX v 2-Х
203
Подставляя
найдем
Подставляя
найдем
z =-
(7.43)
X (у)=1+(2у-1)1Г л (7e44)
ITX 4 ' 2W
W = jig (¦
"Л •
(7.45)
х ( } = (2V- i)tg(jtu)/u)B)-y ^ (7. 46)
ХГЛГ tg (Jiu)/u)B)
на основании которого запишем
/ * N2 ((Y-4-)2tg(»/«.)j-l
•Л-)= —-^-і- (7.47)
\ХГ*/ {2tg(--l«/coB)}2
и
T=Ig"1 {(Y- l/2)2tg(KcoK)}-90°. (7.48)
Очевидно, что спектральная характеристика этого интегратора значительно отличается от непрерывного интегрирования, где
^J2=l/co2 и ср=90°. (7.49)
Заметим, что хорошая аппроксимация при непрерывном интегрировании достигается при y= 1/2, X=i. Тогда
unl^Y-un^gH^K)}-1=^; (7.50)
ш->-0\А.7л / о,-И) Т2ы2
Hm(<p) = -90e. (7.51)
(JO ->0
Кроме того, заметим, что амплитудный спектр симметричен относительно у = 1/2 (7.47), а фазовый спектр несимметричен (7.48). Кроме того, (Л(ш))2 зависит как от у, так и от X, в то время как фаза зависит только от у. Эта разница между фазовой и амплитудной частотными характеристиками предполагает эмпирический метод выбора y и X при Г-интегрировании, применяемом в сложных нелинейных системах с замкнутым контуром.
1. Сначала выбирается y для оценки фазовых ошибок.
2. Затем выбирается X для сведения к минимуму амплитудных ошибок.
Уравнение (7.48) показывает, что при у=,\/2 этот интегратор (примененный в неявной форме) будет обладать только искажением амплитудного спектра, и параметр коэффициента усиления X
204
может быть выбран для того, чтобы свести к минимуму это искажение.
Таким образом, если амплитудный спектр моделируемого процесса известен, дисперсия между амплитудным спектром непрерывного процесса и его дискретной аппроксимацией может быть сведена к минимуму выбором X. Параметры Хну могут быть выбраны и эмпирически и аналитически, как обсуждалось в разд. 7.3. И, наконец, так как в целом верно, что если X «устанавливает масштаб» выхода интегратора, то это может повлиять на установившееся решение системы уравнений, если установившийся интегратор на входе не равен нулю. В этих случаях X всегда должна приравниваться к 1.
Спектральный анализ интеграторов более высокого порядка может быть осуществлен аналогичным образом *. Итак, мы нашли, что:
1. Все эти интеграторы аппроксимируют непрерывное интегрирование при (о-^О и X=I.
2. Для дискретно скомпенсированных интеграторов фазовое смещение зависит только от у, тогда как И (со)]2 зависит и от X и от у.
3. Фазовые ошибки являются основным источником неточности при интегрировании, если размер шага интегрирования велик по сравнению с естественным периодом системы интегрируемых уравнений.
4. Амплитудные ошибки являются основным источником неточности при интегрировании, если шаг интегрирования мал по сравнению с естественным периодом системы интегрируемых уравнений.
7.11. УСТОЙЧИВОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК
Существуют две точки зрения, которые нужно рассмотреть при изучении устойчивости числового интегратора: это собственная устойчивость интегратора и влияние интеграторов на устойчивость регулируемого или моделируемого процесса.
Собственная устойчивость интегратора, с точки зрения управления и моделирования, характеризуется устойчивостью как интегратора, так и дифференциатора. Корень настроечного интегратора нулевого порядка равен +1, поэтому он нейтрально устойчив. Величина г-полюса дифференциатора представляется выражением
Y
которое меньше или равно 1 для всех 1/2.
Мы пришли к выводу, что интегратор первого порядка устойчив при всех Y^ 1/2. Кроме того, нашли, что, так как у увеличивается,
!^полюсі
(7. 52)
* Marc L. Sabin, «Bode Magnitude and Phase-Angle Characteristics of the Tunable Integrators», vol. 6, Part. 1, Proceedings of the Sixts Annual Pittsburgh Modeling and Simulation Conference, April 24—25, 1975.
205
превосходя 1/2, то точное интегрирование получается вплоть до критического значения у> за которым точность интегратора уменьшается.
Заметим, что трапециевидное интегрирование (у= 1/2) нейтрально-устойчиво как для интегратора, так и для дифференциатора.
Нашли, что два корня треугольного и дискретно скомпенсированного интегратора первого порядка равны 0 и +1; подобно интегратору нулевого порядка это устойчивые интеграторы. Величины полюсов этих интеграторов при использовании их в качестве дифференциаторов равны
~± 7Г {1-4V(I-V)}1/2 2у 2у
х7
± -^-{(3-4Y)2- 12Y(I-Y))W
(7. 53) (7.54)
соответственно.
Они-оба меньше или равны 1 для всех значений у^1/2.
Нашли, что такие же результаты справедливы для дискретно скомпенсированного интегратора второго порядка. Из этого можно сделать заключение, что скомпенсированный интегратор может быть устойчив для всех значений у, однако только при у, больших 1/2, можно гарантировать, что интегратор обладает внутренней устойчивостью в процессе вычисления.
