Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
X = 1
/ — XS-hl '
который при аппроксимации с помощью упрощенного преобразователя нулевого порядка дискретного метода аппроксимации дает передаточную функцию
V Ts+ 1 / z—eTTIX f которая приводит к разностному уравнению
Дискретно-аналоговая передаточная функция будет иметь вид
f \2-*-Th)
и разностное уравнение
хл = е-^||_1 + (1-е-^)/л.
Очевидно, числитель передаточной функции упрощенного разностного уравнения является разложением первого порядка передаточной функции. Таким образом, конечное значение упрощенного разностного уравнения не будет равно конечному значению непрерывного процесса.
При tlx меньше 1, эта аппроксимация все же приемлема. Все указывает на то, что к этому разностному уравнению можно приме-
* А, — регулируемый параметр усиления и у— параметр регулировки по фазе. Оба параметра могут быть приспособлены аналитически или эмпирически для согласования моделируемого разностного уравнения с дифференциальным уравнением, которым описывается моделируемая система.
139
йить константу й эмпирически приспособить его для получения правильного конечного значения или откорректировать аналитически определения конечных значений дискретных и непрерывных систем, и подобрать константу для того, чтобы эти конечные значения соответствовали. После того, как все это проделано, убеждаемся, что (4.4) удобно записать в виде
О = Z G (S) П (4 5)
/ ZG(J)J^1 9
где п — порядок знаменателя ZG(s) и т — порядок числителя ZG (s).
Так, для нашего примера
Z[O[S)] = —^fx при я=1, т = \
Z[Q(S)] 1
передаточной функцией моделирующего разностного уравнения будет
X ^(l-e-r'x)z f z-^
Подобным же образом производится моделирование колебательного звена
°-=ъ-as-=z(e-*< sin O)0O=-ze~aT 8ІП((0°П-*
/ (S + a)2-|-a)2 . 2Г2—22ГЄ""ЛГ COS (со0Г)-f єГ**
Теперь
Z Q (s) =-С8ІП((О0П 2flr
и n=2, в то время как m=l. Так, передаточная функция моделирующего разностного уравнения примет вид
[ 1 — еГаТ cos ((Q0 Г) + е"2*7]
22 — 22Г е"лГ COS (CO0 7") + є""207*
что приведет к разностному уравнению модели <рл=2е-^ cos (O)0 Г) Cp^1 - е-^г ?п_2 + (, _ е-*г cos (со0 Г) + е-«") /л. Просто, не так ли?
Некоторые выражения в знаменателе ZG (s) вида (г—1) не позволяют
[ZO(s)U-i]-1
стать определенным. В этих случаях мы прибегаем к помощи оригинала решения упрощенного разностного уравнения или разделяем ZG(s) =H(z) на две части:
JL=H(Z)=F(Z)S(Z).
140
Тогда процесс обратится в последоьательность двух разныч уравнений
F(Z)
У(г)
Например, \/s(s + a) обладает ^-преобразованием
z(l-e~aT)
(z-\)(z-e~aT) Это может выглядеть как
* j-e?L JTJZ
Z-faT 1 Z-I
Применяя метод решения упрощенного разностного уравнения (4.5) к первой части, найдем
i(z) _{i-e-a)z
X(Z)
Z— е
-аТ
¦=>in = (е-аГ) in-1 + (1 ~ Є"*") Xn.
Тогда вторая часть обращается при помощи метода решения упрощенного разностного уравнения (4.4) к виду: у Tz . ~
I = T^T => Уп=Уп~г + 1« Так, соединяя систему уравнений
іп=е-аТіп_г + {\ -е~аТ)хп; уп=уп-і + Тіпі
можно моделировать систему l/[s(s+a)].
Другой способ виден из записи, в которой применяются два разностных уравнения для моделирования этого процесса:
x(z)
і
s -а
JW
Возвращаясь к другим упрощающим методам получения передаточных функций разностного уравнения, найдем, что упрощающий преобразователь перестройки первого порядка образует передаточную функцию для нашего процесса первого порядка
X (Sz- 1) T12%
f Сг-е-г/*) '
из которого получается разностное уравнение
При треугольном преобразователе передаточная функция принимает интересную форму:
_?____(дг2 -f г) Т/2%
f ^-(l+e-^z + e"7^ ' которая обращается в разностное уравнение
Xn = C- е-Пх) x„_, - е-ГАх„_2 + ^ (/„ + /„_,)•
Передаточная функция является квадратичной и обладает двумя полюсами при 1 е~'/т. Динамический эффект полюса при 1 компенсируется нулем при —1.
Наконец, передаточная функция при упрощенном дискретно-аналоговом методе с компенсацией коэффициента усиления, переменного по фазе, имеет вид
X X(TIx)[VZ + (1 -у)] / <*-е-г/*)
которая обращается в разностное уравнение
Xn = + X (Г/t) [YA + (1 - Y) Л-іІ.
Заметим, что при Y=I " X = (I — е~т/х)/{Т/%) это разностное уравнение становится искомым разностным уравнением. Более подробно об этом будет сказано ниже.
Очевидно, что все эти полюсы находятся справа. Некоторые выражения содержат дополнительные нули, что может привести к дополнительным корням при использовании систем с обратной связью.
В итоге методы решения упрощенных разностных уравнений приводят к дискретным аппроксимациям, конечные значения которых могут отличаться от тех же конечных значений аппроксимируемой непрерывной системы. Исключением из этого правила является процесс компенсации нулевого порядка, что прослеживается в (4.5). Этот упрощенный метод приводит к разностному уравнению, которое можно применять во многих случаях. Полюсы дискретной системы подбираются по полюсам непрерывной системы.
Хотя окончательное их значение при малых периодах точно не совпадает со значениями корней этих систем, аппроксимация непрерывной системы первого порядка все же близка к ним.
