Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Jj»|Q,5z| х^
z
Рис. 4.22. Модель системы, изображенной на рис. 4.23. Представлена благодаря любезности фирмы Интэрнэйшнл Бизнэс Машинз Корпорэйшн
* Программа анализа управляющих систем (примеч. ред.).
*1 0,1825гг+0,т5і+0,№
К А=0,903
X
1,581z 1-0,3679
*3 Limit
±1
149
X1(S)
X9(S)
s+ 2
Limit ? 1
Xt(S}
s
X5(S)
Рис. 4.23. Нелинейная непрерывная система, примененная Бейснером для сравнения численных методов цифрового моделирования. Представлена благодаря любезности фирмы Интэрнэйшнл Бизнэс Машинз Корпорэйшн
Для первой передаточной функции
5
5 + 2
полюс в записи через г-преобразование есть z — е~2Г; при 7 = 0,5 имеем г —0,3679.
Передаточная функция, полученная ^-преобразованием, которая применяется при интегрировании имеет вид:
Tz
Z-I
Заметим, что для вычисления внутренних передаточных функций нет необходимости использовать аппроксимации на входе. Только те передаточные функции, которые обладают дискретизиро-ванными входами, подходят к этим условиям.
Выражения в числителе для внутренних передаточных функций определяются относительно просто согласно следующему правилу: коэффициент усиления установившегося состояния передаточной функции области z приравнивается к такому же коэффициенту передаточной функции области 5.
Для многих линейных систем установившееся состояние может быть вычислено приравниванием 5 = 0 и Z=I в функции H(z). Для передаточной функции области 5 коэффициент усиления является отношением постоянного члена числителя к постоянному члену знаменателя. В случае установившегося состояния коэффициент усиления передаточной функции области z является суммой коэффициентов числителя, деленных на сумму коэффициентов знаменателя.
Для передаточной функции
5
54-2
коэффициент усиления передаточной функции равен 2,5.
Как было указано ранее, полюс соответствующей z при 7=0,5 есть г —0,3679.
Таким образом, 0,6325 —это сумма коэффициентов знаменателя. Тогда сумма коэффициентов числителя должна быть /С= -0,6325X2,5=1,581.
150
В случае, если числитель либо знаменатель не имеют постоянного значения, нужно разделить 5 на соответствующий коэффициент. Например, передаточная функция
может быть подобрана делением знаменателя на s, чтобы получить две умножаемые функции
Передаточная функция, соответствующая г-преобразованию, может быть записана в форме
Используя соотношения l/s-+Tz/(z—1) и s->-(z—I)ITz1 можно показать, что передаточная функция остаточного члена коэффициента усиления установившегося состояния может быть найдена по правилу, представленному ранее.
Коэффициенты числителя, необходимые для получения правильного установившегося значения, затем соединяются в один, который применяется как коэффициент при наибольшем значении степени (наибольшая степень знаменателя). Передаточные функции, представленные на рис. 4.22, были получены Фаулером, применявшим методику, которая была только что изложена.
На рис. 4.24 показано местоположение корня части замкнутой цепи системы, представленной на рис. 4.22, как функции Kl для случая Ka = 1. Здесь Kl — коэффициент усиления прямой цепи, введенный в прямую цепь системы (см. рис. 4.22). Он используется как способ графического изображения местоположения корня системы, если с ней работают как с линейной системой.
Можно видеть, что местоположение корня корректируется также в непрерывной системе за исключением значений Kl (рис. 4.25). Если /СА = 0,903, корректировка корней верна при Kl=I- Корректировка при /Сь<1 неточна, но достаточна. Этот ввод и корректировка Ka в данном случае являются необходимыми для получения правильного промежуточного ответа при моделировании замкнутого контура.
В некоторых случаях может быть необходимо включить транспортную задержку в контур. В системах высшего порядка при -г-преобразованиях могут образоваться значительные опережения, и местоположения корня выйдут за пределы мнимой оси. Это может быть скорректировано добавлением одного или нескольких членов в числителе.
Влияние добавочных (запаздывающих) членов в числителе передаточных функций состоит в повороте местоположения корня по направлению к мнимой оси.
5
52+ 2s
151
«r ho - -
Hf 0,0 -
- _I
-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5
2,5 2,0
1,5
bo
0,5 О
Рис. 4.24. Положение корня непрерывной нелинейной системы при ее линеаризации и *з, выходящем за предел мнимой оси. Представлен благодаря любезности Интэрнэйшнл Биз-нэс Машинз Корпорэйшн
KcO,S02
%5 2,0 1,5 ЬО 0,5
-2,5 -70 -1,5 -lfi -0,5
О
Рис. 4.25. Положение корня при моделировании по методу Фаулера. График представлен благодаря любезности Интэрнэйшнл Бизнэс Машинз Корпорэйшн
И теперь единственно, что остается вычислить, — это аппроксимацию на входе. Это можно осуществить так же, как и раньше. Желаемой передаточной функцией при Г=0,5 является
z / 5//0е-°'255 \ = 0,12985*2 + 0,51604* + 0,06657 [ «2 + 25 + 5 J *2 + 0,65542* + 0,36788
Передаточная функция найдена:
0,1825*2 + 0,7245* + 0,093
*2
Этим подтверждается, что данная передаточная функция на входе, умноженная на передаточную функцию замкнутого контура XbIxx рис. 4.22, даст желаемую передаточную функцию.
