Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
При большом шаге эти два выбранных периода задержки могут обладать разрушительными влияниями на всю динамику любой системы, включая данный пример с дифференциатором с ограниченной полосой пропускания.
135
Моделируемая система
z-1 7i-e-°T)i (1-e-"T)z X1(I]9
T z-e-°r U*--1 i-e-ьт
Уравнения ^^"o4^(^^k; V'v^1*
Уравнение 1 Уравнение 2 Уравнение З
пппп0япйптопиипптс С помощью уравнения 1 находят х3, которое сразу же подстай-нослеоооательность ляется ? уравнение 2, которое определяет X2 , а вслед за тш решения применяется в уравнении J. п
O)
Рис. 4.14. Нежелательный (а) и предпочтительный (б) способы моделирования
тракта сигнала
На рис. 4.14 приведена последовательность данного моделирования, где первое разностное уравнение используется для питания второго и второе — для питания третьего.
Из этих примеров следует: первое, — не существует уникальной системы разностных уравнений для моделирования любого непрерывного процесса; второе, — возникает вопрос, какая же из систем уравнений является лучшей для моделирования непрерывной системы; третье, — при параллельном решении системы уравнений решение может осуществляться в любом порядке, но при последовательном решении должен точно соблюдаться намеченный порядок в соответствии с первыми, вторыми и третьими операциями.
Определенные трансляторы на ФОРТРАНе могут перевести разностные уравнения в программу BM. Это может помочь в преодолении запаздываний при дискретно-аналоговом методе.
Что касается вопроса точности, целесообразно помнить следующее правило: устранение наибольшего количества аппроксимаций в дискретно-аналоговом методе может быть достигнуто введением наименьшего количества процессов дискретизации и перестройки.
Во многих случаях при использовании изображений на дисплеях и мониторах отпадает необходимость в промежуточных векторах состояния, обращения к дискретизации и перестройки во всех- векторах состояния.
4.5. РЕШЕНИЕ УПРОЩЕННОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ
Решение разностных уравнений в дискретно-аналоговом методе
для линейных стационарных систем включает осуществление 2-пре-образования произведения управляющей, компенсирующей и передаточных функций непрерывного процесса.
136
Часто возникают трудности, если G(s), C(s) и H(s) хотя бы отчасти комплексны.
Например, при использовании дискретных преобразователей решение передаточной функции примет формы, указанные далее:
^-(z)=ZH(s)C(s)0(s). При использовании преобразователя нулевого порядка
//(,) = __; _(*)=_Z(—). (4.1)
Преобразователь первого порядка дает
»р„ /,(,)=1^(1=^)'. (4.2)
Треугольный преобразователь дает
Во всех этих случаях, даже если в данных преобразователях применяется простейшая компенсация, решение упрощается незначительно.
При C = est (4.1) становится равным
.a_(,-„z(f).
При C=est (4.2) становится равным
О _ (г-1)2 гГ (1 + Ts)G і
При C=I (4.3) становится равным
JQ = (г-1)2 z/^y
Передаточные функции в круглых скобках достаточно сложны даже в этих простых выражениях и часто нуждаются в анализе, отличающемся от простого поиска табличного значения z-преобразования для определения передаточных функций 2-области.
Все это нужно иметь в виду для того, чтобы искать возможность свести данный процесс решения к простой необходимости поиска табличного значения ^-преобразования.
Это можно проделать следующим образом.
Каждую G (s) в круглых скобках можно свести к структурной схеме, как показано на рис. 4.15. Выбирая выход каждой G (s) и перестраивая выбранные значения, мы образуем дискретный аналог этих процессов (рис. 4.16). В этих выражениях z-преобразова-ние между первыми двумя модуляторами является случаем таб-
137
Z(I)
B(s)
ми-
ей
G(s)
Ts*
Рис. 4.15. Структурная схема сложной части преобразования
личного поиска преобразования G(s), и дискретная передаточная функция, образованная между вторыми двумя модуляторами,— такой простой случай табличного поиска г-преобразования.
При дискретно-аналоговом методе с применением преобразователя перестройки нулевого порядка упрощенной формулой решения разностного уравнения будет
-у- = Т Z G (s).
(4.4)
Аналогично, при дискретно-аналоговом методе, где применен преобразователь перестройки первого порядка, упрощенное решение может быть представлено формулой
О _ T (3z — 1)
2z
Z Q (s);
-n0-T4
1-e~sT
1 S
S
1 + Ts
S
G(s) —г
1-e~sT 1
S Tsz
138
Рис. 4.16. Дискретная аппроксимация линии связи
при треугольной перестройке
Еще одна полезная компенсация, которую мы обсуждали, приводит к выражению *
I г к }
Во всех этих случаях сложность ^-преобразования объединенных вместе компенсации и непрерывной системы была уменьшена и сведена к табличному поиску ^-преобразования G(s) и умножению на передаточную функцию цифрового фильтра, в которой включены два уровня аппроксимации общего метода. По этой причине результирующие разностные уравнения обладают двойным уровнем аппроксимации.
Мы рассмотрим, при какой степени эти разностные уравнения аппроксимируют непрерывную систему.
Рассмотрим процесс первого порядка
