Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
5.4. ТЕОРЕМА ШЕННОНА И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Теорема Шеннона. Если функция f(t) не содержит частот выше, чем о) герц, то она вполне определяется присущими ей ординатами системы точек, находящихся по крайней мере на расстоя-
160
Рис. 5.1. Выявление частотных характеристик f(t), представляющих интерес. Особенность этого процесса упоминается, например, в книге, содержащей гармонический анализ,
Ь Р.. В. Хэмминга «Численный анализ для инженеров и исследователей», Мак Гроу-Хилл, 1972
-ґункция_ Ханна f
T г t
L А1 Ї I А
T TTTTT
(X)
Наибольшая частота, предстадляющая интерес, ~\2Т і і _^
5_ 6_ T T
U)
8Л/Т<соМ0дуляции<М/Т Номинальная (Омодуляции -30/Т
нии I/o секунд друг от друга *. В современных терминах мы могли бы сказать, что если f(t) ограничена поясом при о)ь, минимальная
СКОРОСТЬ, При КОТОРОЙ мы МОЖеМ ПрОМОДуЛИрОВаТЬ f(t), это 2(ol.
Так как большинство функций, встречающихся при моделировании, не ограничены определенной полосой, то минимальная частота, с которой мы проводим модуляцию f(t), должна быть от 5 до 10 раз выше наибольшей частоты, необходимой для описания f(t). На точный вопрос, что же означает «наибольшая частота», представляющая интерес, четкого ответа не существует. Автор применил следующий метод для определения «HFI» **.
1. Выбирается участок известной реакции системы, которая моделируется; на участке существуют быстрые изменения состояния системы.
2. Вырезается «окно» участка исследуемой функции при помощи функции Ханна.
3. Вычисляются коэффициенты (частотных составляющих) для 12-членного ряда Фурье выбранного участка.
4. Корректируются коэффициенты для выбранного участка.
5. Возводятся в квадрат коэффициенты (вычисление показателя степени составляющих спектра).
* «Communications in the Presence of Noise», Claude E. Shannon, Proceedings of the IRE, January 1949.
**HFI — наибольшая частота, представляющая интерес (примеч. ред.).
6 493 161
6. Осуществляется построение графика совокупной части общей энергии, представленной компонентами энергетического спектра.
7. Выявляется наибольшая частота, представляющая интерес, — частота, при которой совокупная часть энергетической кривой пересекает 90% энергетической линии.
Этот процесс отчетливо виден на рис. 5.1.
5.5. МОДЕЛИРУЮЩАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА
Другой, более сложный пример подбора корня сделает метод более ясным и проиллюстрирует некоторые тонкости, которые только что обсуждались.
Пример. Система
/ 52 + 2^nS +
является математической моделью непрерывного процесса второго порядка с демпфированием ? и собственной частотой <дп. Уравнения движения кораблей, автомобилей, самолетов, датчиков, определенные экономические явления могут характеризоваться этой простой системой или по крайней мере обладать ее элементами в математической модели, которая является та<кой же системой второго порядка.
При ?=1 эта система обладает двумя реальными корнями
' S1 = S2= —^n.
При ? = 0 эта система станет чисто колебательной с парой комплексных сопряженных корней
5= + ]/ — = ± УЧг
При ?>1 корни действительны и неравны, система предельно задемпфирована.
Наконец, при ?<1 корни комплексно-сопряженные и имеют
вид
Si = — Ол + у(олV1 — С2; S2= — Ол — уO)n V\ —С2.
Следуя правилу подбора соответствующего корня (при этом, однако, мы будем двигаться последовательно к характерной форме передаточной функции разностного уравнения), попытаемся определить передаточную функцию вида
X (Z) __ kz*_
f(z) ~ (Z- Z11)(Z- *„.с) '
где Zn = е W=e-*Ve( > V /1=«');
- ? сопряж. __ ?
162
После подстановки и небольших алгебраических преобразований найдем
f Z2-Z{2e ^ CCS КГ у і - Q2)\ +
е
Допустим, Л = 2е Cu>" COs(o)11T у 1 — С2), ? = е
Югда
Применяя теорему о конечном значении и приравнивая конечное значение дискретной передаточной функции к передаточной функции непрерывной системы, найдем
к .= 1.- k=\-AA-В.
Ї — А + В
Таким образом, передаточная функция моделирующего разностного уравнения примет вид
X =(\ — A+B)zi f ~ z^ — Az + B 9 и моделирующее уравнение может быть представлено как
z2x-Azx+Bx = [I-А +В)z2f.
Для того чтобы получить разностное уравнение в более удобном виде связи текущих и последующих величин, разделим правую и левую части на г2:
х-Az~'x +Bz-2X = (I-A +В) /;
найдем
Xn - Axп_г + Вхп_2 = (і - А + В) /л.
Таким образом, моделирующим разностным уравнением является
Xn = Axn^1 - Вхп_2 + (1 - А + В) /п. Для данного случая заметим, что система резонирует при
Если нам ничего не известно о функции возмущающего воздействия, нужно ее выбирать по крайней мере так, чтобы можно было возбудить резонансную частоту системы, которая становится моделирующей. В этом случае можно установить
7(оя |/1 — С2 < выборки.
Пример переходного процесса этой системы показан на рис. 5.2. Заметим, что данное уравнение не только точно, но и устойчиво для больших интервалов.
6* 163
0,1 0,2 0,3 ОЛ 0,5 0,6 t секунды
Рис. 3 2. Реакция системы (un2/(52 + 2?(o„5-1-+ (On2) на единичное ступенчатое воздействие при 0,3; Wn = 13 рад/с; (Q3=IQ выборок в секунду и ws/((0/iKl — С2) = 5,07
