Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
3. Это дает проектировщику, применяющему моделирование, необходимое понимание для проектирования специальных частотных фильтров.
4. Это обеспечивает проектировщику емкость в выборе различных фильтров при моделировании.
Пример. Промоделируем (s + a)/(s + b)t используя только разностные уравнения для низкопропускного фильтра. Этап 1
ср _ s -\- а _ s , а
I ~ S + b~ s + Ь * s + Ь '
I ts+ 1
-=н
/
ls+1
9*-
Рис. 5.6. Высокочастотный фильтр и его формирование на базе низкочастотного
фильтра
167
Фильтр с ограниченной, полосой, пропускания
Фильтр низкочастотный
ФОПП
Л V OLlULH
A i\
Предполагаемой зависимость
ri rz Фильтр
низкочастотный
Фильтр, ограничивающий по уробню
1-Ф0ПП=Ф0У
Дифференциатор
X 1 1 х полоса
пропускания
Высокая частота
и.
{z)-*-x уровень
X 1
rs+1
НІ
Рис. 5.7. Фильтры с определенной полосой пропускания, фильтры с оіраничени-ем по уровню и дифференциатор, включающий в себя низкочастотные фильтры X = {х—\s/(ts+ \)]х} (Цх). Следовательно, х = [s/{xs+\)]x
(l-e-b7)z
2.е-ьт I І
I
TJ
г-е-ьт
Рис. 5.8. Моделирование (s+a)/(s + 6) при помощи низкочастотных фильтров. Для пояснения отметим следующие преобразования разностных уравнений:
(Ti)« = е_6Г (V1)«-! + (1 - е-*7") /„;
Ыл=/Я; (?з)п =
+ (aJb)Jl- е *г) /„; (<р„) = 4-+ Ып + (?з)«
^-*г(?з)я-і +
168
Этап 2
s _ 5 j J |_ s s + b і ]__—b і ^
s + 6 s-\-b s-\-b s + b s + b
Этап 3
s + g_ — 6 і j і a _ у
который может стать моделируемым при помощи
у _-(1-е-*г)г , , , д/б(1~е-^)г
Структурную схему этой системы можно узнать из рис. 5.8. Системой уравнения этого моделирования является
<Рі =е-*Ч +(1-е-«-)/я;
л л—1
Cp3 =е-и>8 +(a/ft);(l_e-W)/e;
°« я—1
9 = ?! + % + ?-
Часть III
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
НА ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
Глава 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В этой главе представлены методы составления разностных уравнений для моделирования нелинейных систем, которые могут быть описаны нелинейными дифференциальными уравнениями. Некоторые результаты были получены при решении определенных задач, и здесь представлен ряд из них, опубликованных в последнее время.
Эта глава относится к цифровому моделированию непрерывных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями вида
- x = F(x, t)/
Ряд исследователей решали эту проблему на базе современных численных методов. Фаулер исследовал эту проблему с точки зрения подбора корней. Среди наиболее интересных его работ было эмпирическое исследование моделирования нелинейных систем, описываемых уравнениями
x — kx2=f(t), X(O) = Xq1 постоянная, и /(/) = 0.
Эта система может быть представлена структурной схемой,4 как показано на рис. 6.1.
Вследствие этого протекающие в ней процессы можно рассматривать как линейные, имеющие кусочно-постоянные коэффициенты на протяжении шага цифрового моделирования.
Фаулер на основании этого метода разработал систему разностных уравнений и показал, что реакция этой простой системы на начальное условие (или, в соответствии с уравнением равновесия, на ступенчатое воздействие на входе) была ниже по сравнению с истинной реакцией непрерывной системы. Однако он нашел, что время реакции системы и модели сравнивается, когда коэффициент усиления обратной связи системы увеличивается на множитель 2 (рис. 6.2).
Задачей, несомненно, является выяснить, когда состояние равновесия системы приближается к неустановившемуся значению.
170
fit)
(+)
(-)
1_
S
ffK)
HX
X і X
S
2Hx
Рис. 6.1. Структурная схема модели системы x—kx2=*f(t)
Рис. 6.2. Структурная схема системы x—(2kx)x=f(t)
Это очевидно из следующего: в устойчивом состоянии i = 0 и, следовательно,
X
установившегося состояния-
/:—L при /=const, ?<0 k
для моделируемой системы, поскольку
ГЧ7
«^установившегося состояния :
2k
при / = const, ?<0
для системы, которая заложена в кусочно-линейное разностное уравнение, задается скорректированное время реакции моделируемой системы. Очевидным решением было добавление коэффициента усиления в прямую часть контура к входу /. Распространение этого метода на другие более сложные нелинейные дифференциальные уравнения содержит ряд трудностей. На этой стадии Фаулер сделал интересные исследования и показал, что 2kx является якобианом этой нелинейной системы:
дх
K = kx2 + /(/); z2kx=J — Якобиан.
дх
Другие авторы получили аналогичные результаты при применении различных методов. Все они сводятся к тому, что якобиан является не только средством изучения местной устойчивости нелинейных процессов, но и ключевым параметром к быстрому моделированию.
Однако встретились трудности получения метода преобразования нелинейного дифференциального уравнения в кусочно-линейное дифференциальное уравнение, в котором:
1) постоянный коэффициент был таким же, как якобиан нелинейного дифференциального уравнения;
2) конечное значение подобрано по конечному значению нелинейного дифференциального уравнения.
