Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
2. Вычисление полюсов и нулей передаточной функции, представленной в этапе 1.
157
3. Отображение полюсов и нулей s-плоскости в z-плоскости, используя соотношения
с Г If T "
? —р полюс • 9 —р«°нуль ^полюс с ' ^нуль ^
4. Образование полинома передаточной функции в z-преобра-зовании с полюсами и нулями, определенными в этапе 3.
5. Определение конечного значения непрерывной системы на реакцию единичной ступени.
6. Определение конечного значения дискретной системы на реакцию единичной ступени.
7. Подбор конечного значения дискретной системы в соответствии с конечным значением непрерывной системы введением постоянной в передаточную функцию, образованную на этапе 4.
8. Добавление корней к передаточной функции дискретной системы до тех пор, пока порядок знаменателя дискретной системы не будет соответствовать порядку числителя дискретной системы.
9. Обратное z-преобразование z-передаточной функции, полученной на этапе 8, для образования моделирующего разностного уравнения.
Для развития разностных уравнений, использующих этот алгоритм, система должна удовлетворять следующим условиям:
— быть линейной;
— обладать преобразованием Лапласа;*
— быть асимптотически устойчивой и удовлетворять теореме конечного значения: кроме того, конечное значение не должно равняться нулю.
Разностное уравнение, образованное данным способом, не только устойчиво, но и точно, т. е. решение однородного разностного уравнения точно подбирается в соответствии с однородным решением дифференциального уравнения.
Разностное уравнение позволит с достаточной точностью вычислить последовательность дискретных значений решения однородного непрерывного процесса и позволит точно вычислять последовательность решения непрерывной системы при ступенчатых функциях возмущающего воздействия. Из этого следует, что поскольку последовательность значений дискретизируется при частоте, по крайней мере в два раза превосходящей (номинально от 5 до 7 раз) наибольшую частоту функции возмущающего воздействия, для моделирования реакции непрерывной системы на произвольную функцию возмущающего воздействия можно применить разностное уравнение.
Пример. Получить разностное уравнение для моделирования
ПрОСТОЙ СИСТеМЫ XX + X = f.
Этап L
TX-{-X=f при х(0) = 0; L(Tx + x=f)={Ts+\)x=f\
X _ 1
158
Этап 2 ЭтапЗ
z иол юс *
Этап 4
Z = P 5полюс — р— Г/т ^ полюс с ^
1 P
г-е-г^_ q '
Этап 5
і для теоремы о конечном значении Преобразрвание Лапласа единичнон?ступени (1.1)
= 1.
ZT-передаточная функция системы
Этап 6
г~~^ для теоремы о конечном значении Z-преобразование (ZT) единичного шага
lim
г
ZT-передаточная функция моделирования
Этап 7
Подбор конечного значения-=)-?-=,-=1.
1 —е '
С учетом этого
Этап 8
* (1-е-г^)
X
/ *-е-
Этап 9
xz - е~Г'х X=(1 - е-гл) z/; je - «-»е-7"'* л:=(. 1 - е-тП) /. Произведем обратное Z-преобразование (для проверки): хл-е-т>* Xn^1=(I-е-т/*)/п.
• и,==е-^хя_1 + (1-е-гл)/я
159
5.3. ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ ПОДБОРА СООТВЕТСТВУЮЩЕГО КОРНЯ
Некоторыми узкими местами в методе подбора соответствующего корня являются следующие положения.
1. Теорема о конечном значении должна привести к результату, не равному нулю, иначе величина подобранной постоянной, соответствующей конечному значению, не может быть определена. Это может произойти у большого числа систем как реакция на производную входного сигнала или при ступенчатом входе, когда их значение разно нулю. В этих случаях существуют две альтернативы:
а) вычислить реакцию при устойчивом состоянии на единичный пилообразный импульс;
б) переписать передаточную функцию системы так, чтобы дифференцирующее устройство проявлялось как дополнение к фильтру с ограниченной пропускной способностью.
Дополнительное фильтрование изложено в этой главе дальше.
2. Корнями непрерывной системы второго порядка могут быть:
а) действительные и равные (предельно демпфируемая реакция);
б) действительные и не равные (демпфируемая реакция);
в) комплексные и сопряженные (колебательная реакция). Для каждого из этих случаев требуется свое уравнение. Дело в том, что каждое разностное уравнение действительно
только для определенной области в плоскости — 5 или г. Эта ситуация, очевидно, характерна не только для систем второго порядка, но для систем более высокого порядка.
3. Разностным уравнениям, полученным этим способом, присуща устойчивость, если система, которую они моделируют, является устойчивой. РАЗМЕР ШАГА НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ РОЛИ!
Проверим это на нашем примере, заметив, что
«полюс=е-г/т<1 при 7Ут>0.
Важно то, что разностное уравнение
хл=е-^хл_1 + (1^е-^)/л при т>0
не может стать неустойчивым. Моделирование при помощи данного уравнения устраняет проблему числовой неустойчивости!
Это справедливо для всех разностных уравнений, полученных только что описанным способом. Так как моделирующие разностные уравнения не могут стать неустойчивыми, возникает вопрос, как установить скорость квантования?
Ответ определяется теоремой Шеннона.
