Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Результаты данного моделирования, где использован ступенчатый вход, представлены на рис. 4.26.
Разностными уравнениями, которые использовались для получения результатов, являлись
х'х = 0,1825Jt1 + 0,7245Jc1 (- 1) + 0,093^1 (- 2); X2=Xi — х5( — 1); Jt3=0,3675jt3(- 1)+ 1,428-?;
X4=Xz, если хъ^предельному значению; X4 = предельному значению со знаком Xs, если X3>предельного значения;
*5 = *5(—1) +0,5^4.
152
*s
3ft
г'ис. 4.26. Реакция на ступенчатое воздействие, ограниченная при t= = —0,25. График представлен благодаря любезности Интэрнэйшнл Биз-нэс Машинз Корпорэйшн
2,0
1,0
x
/
Vl
f"4
x
/
-А
1ft 2,0 3,0 4ft 5ft t
0,8333z + 0,83333
0,3333
Limit ± 1
0,25z +0,25 Z-1
Рис. 4.27. Моделирование с использованием метода подстановки Тастина. Представлено благодаря любезности Интэрнейшнл Бизнэс Машинз Корпорэйшн
Бремя (секунды)
Рис. 4.28. Реакция модели на ступенчатый вход при использовании метода Тастина. Представлено благодаря любезности Интэрнэйшнл Бизнэс Машинз Корпорэйшн
153
Следует заметить, что X2 вычисляется с помощью последнего значения х$. Это самое последнее имеющееся значение х5у так как текущее значение в этой системе уравнений вычисляется последним.
Для сравнения этого метода с другими, часто применяемыми, Фаулер разработал метод подобия в моделировании при помощи метода Тастина * (рис. 4.27). Результаты моделирования для величины ступеньки, равной 2, по методу Тастина представлены на рис. 4.28. Этот пример включен здесь только из-за того, что он иллюстрирует важность положения о том, что даже прекрасный метод Тастина может привести к затруднению, если используется неправильно.
Вероятно, самой значительной причиной применения дискретно-аналогового метода, или метода Фаулера, является то, что сам метод заставляет исследователя осмыслить его систему. Подстановочные методы Тастина, Труксаля и других авторов этого сделать не могут. Их методики пригодны для получения системы уравнений. Однако по ним трудно сказать, насколько подобна или не подобна полученная дискретная система той, которую они собираются моделировать.
Глава 5. СУЩНОСТЬ МЕТОДОВ ПОДБОРА КОРНЕЙ
В гл. 4 мы обсуждали метод Фаулера для моделирования линейных систем с включением нелинейных элементов, передаточная функция замкнутого контура которых корректируется передаточной функцией разностного уравнения, полученного с использованием дискретно-аналогового метода.
По ходу изложения при обсуждении особенностей моделирования в гл. 4 мы уже говорили о необходимости нахождения корней непрерывного дифференциального уравнения по корням модулирующего разностного уравнения, что составляет сущность моделирования непрерывных процессов. Эта тема рассматривается в данном специальном разделе из-за того, что некоторые детали подбора корней достаточно запутаны и нуждаются в специальном объяснении. Кроме того, понятие подбора корней в разностном уравнении по таким же корням дифференциального уравнения понимается лучше при применении преобразований Лапласа, где уравнения движения характеризуются передаточными функциями.
На прошедших семинарах по современному состоянию численных методов после опубликования работы Фаулера ** автор часто слышал критику в том же духе, что и критика метода Фаулера по
* См. прил. А.
** «А New Numerical Method for Simulation», Simulation, vol. 6, No. 2, pp. 90— j92, February 1966; vol. 6 pp. v and vi, June 1966; vol. 8, pp. 308—310, June 1967,
154
поводу методов подбора корней. Так как его работу можно рассматривать как специальный случай изложенных здесь методов, то основная критика была направлена по поводу перенесения методов синтеза и анализа линейных непрерывных систем на нелинейные системы. Кроме того, метод Фаулера в некоторой степени трудно применять инженерам, начинающим работать в области модельного проектирования, из-за того, что требуется глубокое знание свойств как непрерывных, так и дискретных систем.
Работа Фаулера может быть охарактеризована как метод подбора корней системы разностных уравнений с помощью корней системы дифференциальных уравнений. В этом случае подбор системы корней разностного уравнения с помощью системы корней дифференциального уравнения является специальным случаем метода Фаулера.
Методы подбора корней для дискретизированных непрерывных систем были изучены большим числом аналитиков, работающих в области управляющих систем; среди них Ту, Жюри, Корн, Франклин, Калман.
В действительности, в рекуррентных формулах состояния, полученных многими новаторами того времени, их корни подбирались в соответствии с корнями дифференциальных уравнений, описывающих непрерывный процесс. Все это указывает на причины того, что разностные уравнения с подобранными корнями являются предметом меньшей критики, чем метод Фаулера.
Идея применения разностных уравнений с соответственно подобранными корнями приходила в голову не только известным ученым фундаменталистам, но и инженерам-исследователям во всем мире, занятым моделированием. Дэн Розамонд из Мак-До-нелл Дуглас Корпорэйшн, Билл Эдвард из Локхида, Дэйв Лэнг и Рональд Баулез из НАСА, Стейман от Боинга вместе с Эллиот Пуйроном, Брайном Шонмакером и другими авторами и членами служебного персонала проектировщиков, осуществляющих моделирование со сменным экипажем программы Аполлон, были среди инженеров, применявших метод подбора соответствующих корней или ему эквивалентного метода для моделирования непрерывных систем. Они обратились к этим методам, так как для решения задач в науках, связанных информатикой (т. е. связь, управление, проектирование BM), стало использоваться моделирование классическими численными методами, которые часто приводили к значительной числовой неустойчивости и требовали стабилизации цифрового моделирования при малом шаге. Это в лучшем случае приводит к удорожанию моделирования, a ^b худшем случае к неточности моделирования (из-за округленной ошибки). Многие классические методы неприменимы для моделирования в реальном масштабе времени, как это требуется для человека, находящегося в контуре тренажера, из-за того, что:
