Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Эта система действует как линейная система до тех пор, пока величина X2 не станет достаточно большой, чтобы достичь предела хг. При I Jc21 за зоной, допускаемой ограничителем линейности, х$ ограничено до величины а или —а, в зависимости от того, является ли X2 положительной или отрицательной.
Если система действует в линейной области, она обладает передаточной функцией
*4 = 1 Xi , XS + 1
которая имеет единственный полюс при
___1_
"^иолюс _ •
TJ
Можно подвести некоторый итог по методу Фаулера*. Для синтеза дискретного аналога непрерывной системы исполь* зуют ее структурную схему в следующей последовательности: Этап 1. Подставляем TzI (z—1) для каждого 1/5. Этап 2. Подставляем
H (z) = ^=-1 Z (?Й>| для каждого 0(5). * Это является авторской интерпретацией работы Фаулера.
146
Рис. 4.18. Дискретная система для моделирования системы, представленной на
рис. 4.17
Этап 3. Добавляем операцию k в прямую цепь, значение которой может быть установлено по местоположению полюсов замкнутой цепи.
Этап 4. Добавляем передаточную функцию на входе для получения реакции замкнутой линейной системы, подобной исходной системе.
Применяя метод Фаулера к задачам-примерам, можно составить структурную схему дискретной системы, представленную на рис. 4.18.
В этом примере мы не используем этап 2. Если дс3 имеет предел и эта система является линейной дискретной системой, то она имеет передаточную функцию
х± = VTzI(Z) =H{Z)I{Z) Xi z—\ + kT
которая обладает полюсом при 2Полюс = 1— kT.
Для приведения в соответствие полюса дискретной системы с полюсом непрерывной системы нам необходимо, чтобы
г1ЮЛГОС=е5полгосг или чтобы 1 — kT = e~T/x.
Так, если мы установим
,-Th
можно гарантировать, что дискретная система с обратной связью будет вести себя подобно непрерывной системе с обратной связью
Kz)
-г©
1-е
-T/t
ILm
Iz
1-І
Рис. 4.19. Дискретный аналог непрерывной нелинейной системы
147
Рис. 4.20. Дискретный аналог нелинейной системы, представленной на рис. 4.19, при выходе Xs за предел мнимой оси
при .v3, выходящем за предел. Мы можем теперь начертить блок-схему моделируемой дискретной системы, как показано на рис. 4.19. Эта система обладает передаточной функцией замкнутой цепи
х\ г—е~т/х
Если хг выходит за предел, то было бы желательно, чтобы дискретная система, представленная на рис. 4.19, вела себя подобно дискретной системе, показанной на рис. 4.20, где С (s) компенсируется при искажении, вводимом H (s).
Для этого примера будем применять преобразователь нулевого порядка (1— e~sT)/s и компенсацию е5Г/2 для компенсации запаздывания вполовину периода, вводимого преобразователем.
Таким образом, целесообразной передаточной функцией для дискретной системы, которую мы пытаемся получить для моделирования нелинейного процесса, является
l-e-^UW 1 \_ (l-e-^)z + (e-^-e-^)
Чтобы найти / (г), мы приравниваем эту передаточную функцию к действительной передаточной функции дискретной моделирующей системы:
ха
Xl
\ Xi Id
г (1-е-г^)г + (е^2т-е^) 1
I («-e-r/*)_L
Г (l-e-y/«)z 1
L (*-e-^) J
,/-л (1-е-^)г + (е-^-е-^) 1 [Z) (1-е-^)г '
Окончательной формой дискретного моделирования нелинейного процесса может быть структура, показанная на рис. 4.21. Следует сделать следующие замечания:
— эта методика достаточно сложна для того, чтобы в системах более высокого порядка обойтись без специальной аналитической помощи. Фаулер предвидел эту необходимость и разработал программу BM для осуществления метода. Программа, являющаяся
148
Рис. 4.21. Окончательная форма дискретной системы, предназначенной для моделирования нелинейной системы, представленной на рис. 4.17. Здесь а=1 —
коммерчески пригодной, содержится в BM с наименованием CSAP или «Control Systems Analysis Program»*;
— I (г) может быть приравнена к единице и коэффициент усиления k может быть определен эмпирически методом проб и ошибок. Это устраняет необходимость CSAP и обеспечивает получение результатов, которые являются достаточно точными для многих случаев прикладного моделирования;
— автор удержался от обсуждения поведения корней нелинейного процесса в плоскости 5. Здесь обсуждается создание в линейной дискретной системе с замкнутым циклом режима, подобного* режиму линейно-дискретной системы с желаемой передаточной, функцией. Это происходит из представления о том, что если нелинейная система линеаризуется, то она ведет себя аналогично системе, показанной на рис. 4.20;
— этот интересный результат дает возможность утверждать» что, так как информационный поток дискретной системы аналогичен информационному потоку непрерывной системы, то дискретная нелинейная система будет вести себя так же, как непрерывная нелинейная система. И это несомненно так.
На рис. 4.22 показано моделирование системы, представленной на рис. 4.23, по методу Фаулера. Целью является получение передаточных функций с полюсами и нулями передаточных функций, замкнутых циклов с желаемой аппроксимацией.
Метод, примененный Фаулером для синтеза моделирующих систем, позволил впервые получить полюсы для функций, полученных ^-преобразованием.
