Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Важным свойством разностных уравнений, применяемых в дискретно-аналоговом методе, является присущая им стабильность независимо от размера шага, конечно, в том случае, если моделируется стабильный процесс. И в более общем случае разностные уравнения обладают устойчивыми характеристиками, как и дифференциальные уравнения непрерывной системы.
Как показано на рис. 4.5, если период выборки велик по сравнению с постоянной времени процесса, то процесс легко достигает устойчивого состояния. Однако это неверно для численно интегри-
128
руемой системы, показанной на рис. 4.6. Если ординарные дифференциальные уравнения решаются не аналитически, а численным интегрированием, то может возникнуть числовая неустойчивость.
Короче говоря, если дифференциальное уравнение может быть решено при наличии возмущающей функции (частное решение) и для начальных условий (решение однородного уравнения), то разностное уравнение, которым описывается это решение, будет обладать устойчивостью характеристик.
В этой книге рассматриваются процессы перестройки с помощью преобразователей нулевого, первого, второго и треугольного вида, а не процессы непрерывной компенсации, которая обычно является опережающей, запаздывающей, опережающе-запаздываю-щей или переносной опережающей компенсацией. Существуют другие типы процессов перестройки, которые здесь не рассматриваются, но имеют большое значение для развития моделирования,— это, например, самонастраивающиеся процессы Портера — Стонемана «кардинального преобразования», которые перестраивают функции в точно ограниченной полосе. Существуют также и нелинейные компенсирующие фильтры. Эти процессы здесь также не рассматриваются, так как существуют фундаментальные работы, в которых положено только начало исследованиям по применению данных методов, еще далеко не доведенных до конца.
4.3. ДИСКРЕТНО-АНАЛОГОВЫЙ МЕТОД И ГИБРИДНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В разд. 4.2 упоминалось, что дискретно-аналоговый метод подобен гибридному машинному методу моделирования непрерывной системы. Это положение нуждается в дальнейшем развитии по различным причинам.
На рис. 4.7 показана структурная схема гибридного моделирования линейного стационарного процесса G(s), где дискретные значения функции возмущающего воздействия (вычисленные на цифровой вычислительной машине) перестраиваются на аналоговой цифровой машине методом выборки дискретных значений и преобразования, а зате.л реализуются в непрерывном процессе G(s) (путем реализации на аналоговой вычислительной машине), выход которого претерпевает дискретизацию и затем возвращается по обратной цепи к цифровой вычислительной машине. Теперь должно быть очевидно, что дискретно-аналоговый метод является аналогом и при гибридном моделировании функции G(s).
В этом смысле, иногда дискретно-аналоговый метод называют гибридно-аналоговым. С помощью разностных уравнений обычно моделируют G(s) на цифровой вычислительной машине, при этом могут быть получены такие же результаты, как и на аналоговой вычислительной машине при исключении влияния напряжения ее квантователя (функция квантователя — сделать дискретными уровни напряжения аналога, что можно достичь с помощью цепи преобразователя). Во-первых, заметим, что разностные уравнения, по-
5 493
129
Аналоговая Вычислительная машина
Цифровая вычислительная маиіина
Рис. 4.7. Моделирование G(s) с помощью гибридной BM. Ключевые данные о дискретно-аналоговом методе базируются на основании его аналогии с гибридными системами:
1. Если G(s) является устойчивым, то отношение у (г) к х(г) будет устойчивым независимо от шага Т. 2. Если y(s) имеет частотные составляющие вплоть до G)n Гц, то нижняя частота квантования должна быть порядка 7о)п. Так как во многих случаях Гт1п«1/7юп. Большинство моделируемых процессов плохо реализуется при T=]/2(йп (нижний предел Шеннона) по различным причинам (либо у не ограничен полосой частот, либо значительна ошибка квантования и т. д.). В силу этого практическое значение приобретает Г«»1/7юп. 3. Если высокочастотные составляющие y(s) выходят за значение 1/2Г, то считается, что оин бу« дут стремиться к еще более низким частотам в процессе моделирования на цифровой BM. В случае, если T переменно, следует применить перед последним модулятором специализированный фильтр. Однако подобный метод автору применять не приходилось
лученные для процесса дискретно-аналогового моделирования, будут более точными, чем заменяемый гибридный процесс, в который включается влияние квантователя. Во-вторых, пределы точности решения разностного уравнения определяются по точности вычисления коэффициентов разностного уравнения, по точности самого решения разностного уравнения на цифровой BM, которые значительно выше, чем при решении на эквивалентной аналоговой BM. Это происходит от того, что точность вычислений на аналоговой BM обеспечивается потенциометрами и обычно ограничивается одной долей от 103 или 104, в то время как получение коэффициентов на цифровой BM реализуется с точностью одной доли от 2П, где п — число бит информации в арифметическом регистре цифровой BM.
