Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
На всем протяжении книги, когда рассматриваются ошибки, мы полагаем, что ошибка равна разнице между выбранными значениями непрерывного процесса и выбранными значениями его же дискретной аппроксимации на выходе. Дискретная аппроксимация состоит из преобразования компенсации C(s) и непрерывно-
го процесса y=f(x, t, у). Компенсация C(s) нейтрализует искажение, вводимое преобразованием H(s) в сигнал x(t). Глядя на процесс компенсации слева, мы имеем дело с точностью, с которой функция возмущающего воздействия x(s) восстанавливается из
* В гл. 5 можно найти разностное уравнение (за исключением коэффициента г в числителе), которое может быть получено также отображением полюсов плоскости s ,в полюсы плоскости z, таким образом, чтобы получить передаточную функцию области z, чьи полюсы и конечные значения подобраны из тех же параметров, что и у непрерывной системы.
125
Наименобание
Временная область №
Частотная область^) s-плоскость X(S) j/W
S-плоскость частотная область X(S) **(s) ^X(S) -х(5) -У® -У* (s)
Временная область x(t) х(пТ) ~Щ -y(t) -У(ПТ)
2-плоскость частотная область X(Z) ~у(г)
Наименование
Рис. 4.4. Непрерывная система и ее дискретный аналог
последовательности выбранных значений. Эти обстоятельства включают:
— выборку дискретных значений при достаточно высокой частоте, чтобы восстановить функцию возмущающего воздействия H(S)-
— понимание влияния модулятора спектра функции x(s)\
— понимание причин искажения как фазового, так и амплитудного спектра функции x(s), вводимого электрической цепью преобразователя #(s);
— определение компенсации, которая может свести к минимуму искажение спектра х как от Я (5), так и от модулятора.
Точность и информационное содержание функции возмущающего воздействия X (s) являются условиями между первым модулятором и компенсирующей сетью; между компенсирующей сетью на выходе и последним модулятором основным условием является устойчивость моделируемого процесса.
Заметим, что y(s) = G(s)-x(s). Таким образом, применяя теорему свертки, найдем, что у (s) является реакцией функции G (5) на функцию возмущающего воздействия x(s). Так как x(s) на протяжении периода моделирования известна, то у (s) может быть вычислена за тот же период времени умножением характеристики G(s) на известную функцию возмущающего воздействия x(s). Поскольку последовательность функций x(s) аппроксимируется произвольной функцией X(s)f то предполагают, что решение'*/(s) является реакцией G(s) на произвольную функцию возмущающего воздействия x(s).
Заметим только, что реакция системы при начальных условиях (решения этой однородной системы) как для дискретной аппрок-
126
Y(O)
Рис. 4.5. Обобщение дискретно-аналогового метода
симации, так и для непрерывного процесса тождественна, т. е. реакция на начальные условия при дискретно-аналоговом методе равнозначна той реакции непрерывной системы, у которой начальные, условия не проходят через модель, преобразователь и компенсирующую сеть.
В связи с этим не следует обращать внимания на то, что теорема Грина (где в линейных системах с начальными условиями можно обращаться как с возмущающими функциями и наоборот) при дискретно-аналоговом методе точно не выдерживается.
На рис. 4.5 показано векторно-матричное обобщение дискретно-аналогового метода для линейного и гладкого нелинейного процесса. И еще раз, нижняя ветвь движения сигнала является дискретной аппроксимацией непрерывного процесса, описываемого верхней траекторией сигнального потока. В таком случае структурная схема обобщается для включения как линейного, так и нелинейного процесса.
Как уже обсуждалось, точно такие же принципы допускаются для строго линейной стационарной системы. То есть принципы, связывающие первый модулятор и компенсирующую сеть на выходе, основываются на перестройке функции возмущающего воздействия с достаточной точностью, для того чтобы аппроксимировать возмущающие воздействия как во временной, так и в частотной об-* ластях. А принципы, связывающие компенсационную сеть на выходе и последний модулятор, основываются на решении системы Уравнений при известной функции возмущающего воздействия и начальных условиях.
В дискретном аналоге время решения задачи отличается от времени в истинном масштабе при непрерывном процессе. Время обозначается параметрами ти/в дифференциальном уравнении и в их выбранных модельных значениях. Компенсирующая сеть обеспечи-
127
Y(O)
JL
=J> Y=f(XX у) ==!> J0Vt-
т
Ut)
X(t)\
пі
Y(O)
=4=
T
г е"5Г
Рис. 4.6. Обобщение дискретно-аналогового метода и метода численного интегрирования системы дифференциальных уравнений
вает компенсацию запаздываний, возникающих в модели в процессе восстановления. Нет необходимости в том, чтобы время в дискретно-аналоговом процессе было таким же, как в истинном непрерывном процессе, так как могут появиться систематические запаздывания, связанные с вычислением векторного интеграла в дискретном аналоге, т. е. прямая цепь должна быть рассчитана до того, как обратная цепь замкнута. В дискретном аналоге нелинейных уравнений, с помощью которых осуществляется интегрирование на вычислительных машинах, в том числе сопоставление с аналитическим решением, возникает добавочное запаздывание, которое изменяет время решения задачи в дискретной системе по сравнению с реальным временем в непрерывной системе. Кроме того, при крупномасштабном моделировании часто практикуются различные пакеты программного обеспечения, расположенные в различных группах и в различных местах. В таких случаях возникают трудности управления временем информационного потока; при программном обеспечении возникают необъявленные запаздывания, которые позже могут быть учтены моделирующим инженером после отладки программ. Это можно видеть из рис. 4.6, где дискретный интегратор (цифровой интегратор) представлен с помодцью процессов восстановления и компенсации, который включает временную задержку при замыкании обратной цепи (е_5Г вдоль цепи).
