Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

§ 2. Эргодическая теорема

Простейшим примером эргодической теоремы является уси-
ленный закон больших чисел для последовательности незави-
симых одинаково распределенных случайных величин (гл. 3,
§ 2, п. 4). Такие теоремы утверждают существование пределов
от средних вдоль траектории случайного процесса. Мы рас-
смотрим только процессы с дискретным временем и речь будет
идти о существовании предела средних от случайных последо-
вательностей.

2.1. Сохраняющие меру преобразования. Пусть на измери-
мом пространстве (X, Я) заданы а-конечная мера ц, и измери-
мое отображение Т (Х,к) в (X,â§), Будем обозначать образ

точки х при отображении Т через Тх (мы не предполагаем у
X линейной структуры, поэтому такое обозначение не вызовет
путаницы). Преобразование Т сохраняет меру р, если
ц(7,-1В) =р,(В) для ВШ, Т~ХВ — прообраз В при отображении
Т. Преобразования, сохраняющие некоторую меру, появляются
обычно при рассмотрении динамических систем. В теории веро-
ятностей они также появляются естественным образом.

а) Стационарные в узком смысле последо-
вательности. Пусть (Х,39)—некоторое измеримое прост-
ранство, п=0, 1, 2, ...} — последовательность случайных
элементов со значениями в (Х,3§). Она называется стационар-
ной в узком смысле, если для всех п совместные распределения
величин |о, ..., 1п и |1, . .., |п+1 совпадают. Отсюда легко сле-
дует, ЧТО СОВМеСТНОе распределение |0, • • ■ , 1п и |т, . . . , |„+т

совпадают при любом т. Другими словами, распределение от-
резка последовательности не зависит от сдвига времени (от
выбора начала отсчета). Многие системы при отсутствии внеш-
них воздействий по истечении достаточно большого времени
становятся очень близкими к стационарным. В этом параграфе
будем понимать стационарность как стационарность в узком
смысле.

Обозначим через Х°° пространство последовательностей
(х0, хи-..), а ЗВ°°— цилиндрическую о-алгебру в Х°°. Конечно-
мерные распределения последовательности {£,„, п = 0, 1, 2, ...}
порождают на 33°° вероятностную меру р.. Обозначим, далее,
через Т операцию сдвига последовательности

Т(Хо, Х\, . . .) = (Х\, Х<2, . . .).

Стационарность последовательности эквивалентна тому, что
операция сдвига Т сохраняет меру р. Заметим, что: 1) после-
довательность независимых одинаково распределенных величин
(1п, п=0, 1, 2, ...} является стационарной, 2) если /(хо, х\,
. ..)—.^-измеримая функция, то последовательность г|ь =
=/(|ь, ^ь+ь . ■ •) будет стационарной, если стационарна после-
довательность {%п, п = 0, 1, 2, ...}.

б) Однородные цепи Маркова. Функция С}(х, В)г
определенная на ХхЗЗ и принимающая значения из [0, 1], на-
зывается вероятностью перехода, если: 1) при фиксированном
В^ЗЗ она ^-измерима, 2) при фиксированном х£Х она — вероят-
ностное распределение на 3%. Если О^ и О^ — Две вероятности
перехода, то определена их композиция: §\*§2{х,В~) =
— \ 0.\{х, с1у)С}2{у, В), это — также вероятность перехода. Слу-
чайная последовательность {£п, п = 0, 1, 2, .. .} называется
однородной цепью Маркова, если для всех п^О

Р{£п+1б£/Ео, ■ ■ •, |п} = <2(1п,Я) с вероятностью 1,

где С} — некоторая вероятность перехода. Если рассматривать
значения %п как состояния системы в момент времени п, то

для марковской последовательности вероятность попасть в не-
которое состояние на п-)-1-ом шаге зависит лишь от состояния
в предыдущий момент времени (это марковское свойство) и
не зависит от момента времени (однородность во времени).

Пусть VQ — распределение величины £0- Тогда из приведен-
ного определения получаем такую формулу для конечномерных
распределений марковской последовательности

Р{&оея0,1,ея1, ...,£пев„}=

= | V (аГх0) | <3 (л:0, йхх)... | <3 (хп_и йхп). (1)

Вероятность перехода <3, фигурирующая в (1), называется ве-
роятностью перехода цепи {£„, п = 0, 1, 2,...}. Когда эта цепь
будет стационарной последовательностью?

Некоторая о-конечная мера V называется инвариантной для
вероятности перехода <3, если для всех В&93

v(Б)=/Q(д;, В)у{йх).

Легко видеть, что марковская цепь с вероятностью перехода С
стационарна тогда и только тогда, когда распределение го ве-
личины £0 инвариантно для (£.

Приведем одно простое и широко используемое условие су-
ществования инвариантных мер.

Лемма. Пусть X — компакт, 93—о-алгебра его борелев-
ских множеств. Если С}(х, В) обладает свойством: для всех
/6с£ /(у)С1(х, йу)£С, то существуют вероятностные инвариант-
ные меры для С.

Доказательство. Положим

01 = 0, <}п+Лх,В) = \ъп(х,<1у)С1(у,Е).
Для всех п и /бС