Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
4.2. Неравенства. Существование предела. Будем рассматри-
вать конечные последовательности |ь . .., |п случайных вели-
чин, образующие мартингал, субмартингал или супермартин-
гал. {У и .. ., Уп)— соответствующие а-алгебры.
а) Неравенства для максимума.
Теорема 2. 1) Если {%к, У и, к = 1, .,., п) — субмартин-.
гал, то
аР{тах^>а}<М(|,д/0). (1)
к
2) Если {1к, Ук, & = 1, ..., «} —супермартингал, то
аР{тах|А>а}<М|0-М(|„ЛО). (2)
к
Доказательство. Пусть т=-&<я, если І&>а»
\к_х <а, ..., її <а, т = и, если |п_, <а, ..., ^ <а. г — м. о-
относительно (#*^, так как {т = Обозначим через А
событие {таах1к>а}. А(*УХ, так как А[\{х^к)сУк- Значит,
к
на основании теоремы 1
М|„/л>М|т/д>аР (Л).
Остается заметить, что М|„/л<М (|„\/0)/л<М(|„\/0).
2) Сохраняя предыдущие обозначения, имеем М|Т<М|0,
М|т-м|,/а + М|т (1 - /л) > аР (А)+Ща (1 - /л).
Поэтому аР (Л)<Щ,-М£„(1 -/А)< АЦ,- М (|„Л0)(1 - /л)<
<М|0-М(|„ЛО). □
Следствие. Если {1к, Ук, £ = 1, ..., п) — супермартингал, то
аР {эир 11к | > а} < М | \0 | + М | \п |.
к
б) Неравенства для числа пересечений. Будем
говорить, что числовая последовательность хь х2, ■ ■., хп
пересекает полосу [а, Ь\ (а < Ь) не менее к раз снизу вверх, если
можно указать такие номера ix < г2 < ... < i%k-\ < *2*> чт0
•jCj,<a, xia<a, ..Xi^^a, xit>b, xit>b, ..., Xiik>b.
Аналогично определяется число пересечений сверху вниз, а их
сумма есть число пересечений последовательностью х\, ..., хп
полосы [а, Ь].
Теорема 3. Пусть &~k, k~\, ri)— супермартин-
гал. Если v+{a, Ь]— число пересечений снизу вверх последо-
вательностью gi, . . . , In полосы [а, Ь], то
(Ь—a)Mv+[a, &]<М(а—gn)V0. (3)
Доказательство. Введем м. о. в {1, 2,..., п}, опреде-
ляемые равенствами хх = inf <a}U{«}), t2 = inf ({i >x-[:%i >b}\J
U{n}) и т. д. Пусть Am = {v+[a, b\\>m}^{x2m_l <гг}П{1т21П >b),
{*2m-\ <«}6^"t2m_1, ПОЭТОМУ
0>AI(gTim-gWj)/{ttm_i<B}>
> (6 - а) P (Л J + M (gTjm - a) /{w„, gtjm<6} >
>(6-a)P (Ат) + Щ1п-а) /{tilfr.i<Bl gT2m<*}.
Так как события {т2т_!</г, |т2т<&}с{т:2ш_1 </г, т2т = /г} несов-
местимы, то
Ф - а) 2 Р И») < М [(« - U V0] 2 /{tjm-1<». tJ(B-n} <
<M[(a-|„)vO].
Но
2p(AJ=Mv+k 6]. □
в) Теорема о пределе. Будем рассматривать беско-
нечную последовательность @~h, k=l, 2, .. .}, являющуюся
супер- или субмартингалом. Найдем условия, при которых с
вероятностью 1 она имеет предел.
Теорема 4. Пусть !Fk, k = \, 2,...} —супермартингал,
для которого inf М(£ЯЛ0)> — со. Тогда с вероятностью 1
п
существует lim |п.
Доказательство. Если {хп}—числовая последователь-
ность, то она имеет предел если: 1) она ограничена, 2) она
пересекает любую полосу [гь г2], где г!<г2 — рациональные
числа, конечное число раз. Положим т)+ = тах{|1>..., ч\~ =
= тах{ —£„ ..., — 1п), л+ = Нтт1+ тг = 11тт)-» vn[ru г2] —
число пересечений полосы [гь г2] последовательностью ii,..., in,
r2]==llm v™ [ri, r2] —число пересечений [гь г2] бесконечной
rt-*oo
последовательностью. Так как (—|*) — субмартингал, то на
основании теоремы 2 при а>0
аР {ц+ > а} < Mg0 - М (£„ ДО), аР {ц+ > а] < М|0 - Inf М (|„ Л О),
п
aP{T|->a}<M(-in)vO= -М(^ЛО),
аР {r\->a}< — Inf M(g„AO).
Значит, P{sup||ft|>a}<-(MgQ — 2 inf М(|„лО)). Последователь-
ность {gft} с вероятностью 1 ограничена. Так как vn [ги г2]<
<2v+[r1, r2]-|-l, то на основании теоремы 3
Mv[rb r2]<jrL(l + 2(|a|-infM(i„A0)))<oo. □
Следствие. Неотрицательный супермартингал с вероятностью
1 имеет предел.
Замечание. Пусть {ln, £Fn, п = \, 2, ...} —равномерно
интегрируемый мартингал. Тогда sup М | \п | < со и на основании
п
теоремы 4 существует gco = limg„. Если Ат^Ут, то
Mg 1а = limMg„/A = Mgm/A
/г-*-оэ
(переход к пределу под знаком интеграла возможен в силу
равномерной интегрируемости). Итак,
1т=ж{из-т). (4)
Наоборот, если последовательность {g,n} представима формулой
(4), то она равномерно интегрируемый мартингал. То, что это
мартингал, очевидно, а равномерная интегрируемость вытека-
ет из следующего утверждения.
Лемма. Пусть M|g[<oo {Ув, 866} — некоторая совокуп-
ность а-алгебр, УеаУ. Тогда семейство величин {т|е = М(|/Уе),
866} равномерно интегрируемо.
