Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

§ 1. Слабая сходимость распределений

1.1. Слабая сходимость мер в метрических пространствах.

Пусть X — сепарабельное полное метрическое пространство,
93— борелевская о-алгебра. Обозначим через Ж множество ко-
нечных мер на 93, через С пространство непрерывных ограни-
ченных функций из X в R.

Определение. Последовательность мер p„6*# слабо схо-
дится к мере р, если для всех /6С lim \ /dp« = ^ fd\i (будем

этот факт обозначать так: ря=4*р).

Приведем характеристику слабой сходимости в терминах
сходимости меры на множествах.

Теорема 1. Для того чтобы рп=^ро, необходимо и до-
статочно, чтобы для всякого замкнутого множества Г

lim" ря(Л<МП Шпця(*НИ*)- 0)

Доказательство. Необходимость. Пусть /6jC и />/р*
Тогда

Йт р„ (F)<lim \ /dp„= С fd\i0.

Но нижняя грань правой части по всем f > 1р совпадает с
p0(F). Необходимость второго из равенств (I) очевидна.

Достаточность. Пусть G — открытое множество. Тогда из (I)
вытекает lim ря (G) > р0 (О). Пусть А£93, int А — множество внут-

Л-*оо

ренних точек, [Л]— замыкание Л, Л' —граница Л, тогда
ц.0 (int Л) <Нш (х„ (Л) <Tim" р„ (Л) < |i0 ([Л]) =

= р0(ийЛ) + р0(Л').

Значит, при р0(Л') = 0

lim ря(Л) = р0(Л).

Л->-оо

Каковы бы ни были /€С и е>0, можно указать такие а0<
<а, < ... <am, что a0<f<am, p0({x:/(^) = aj) = 0, i = 0, ...
..., от, di — di^ <s. Тогда для я=0, 1, 2, ...

| \ fd\in — 2 а i\in ({х: а, < / (*)< а(+1})| < еря (Л),
lim 2 «iM{*:«i</C*)<«i+i}) =

Л-юо

=2 а^о с*: at < f № < at+\})'

и, значит,

ЙпТ К/rf|i„-$/</[!„ |<2ер0(^). □

л-»-оо

Замечание. Множество Л называется множеством не-
прерывности для меры ро, если ро(Л')=0. При доказательстве
теоремы установлено, что при рп=^ро будет р„(Л)->-р0(Л) для
всех множеств непрерывности меры ро.

Замечание. Пусть хп((о), п — 0, 1, ... — последователь-
ность Х-значных случайных элементов, х„(со) -+х(и>) по вероят-
ности, р„ — распределение х„(со). Тогда

р„=^р0: J fd\in = М/ (хп (со))-* М/ {х0 (со)) = § /ф0.

Оказывается, справедливо и в некотором смысле обратное ут-
верждение.

Теорема 2. Если pn=^Po, Рп — вероятностные распре-
деления на 93, то существует такая последовательность Х-знач-
ных случайных элементов хп(и>), что хп (со) ->x0(co) по вероят-
ности, и р„ — распределение хп{(й).

Доказательство. Для каждого е>0 можно разбить X
на счетное множество подмножеств {Usk, k = l, 2, ...} так, что-
бы diam (£/|)<е, p„(t7|)-s-р0(£/|). Выберем в каждом U\ точку
х\. В качестве вероятностного пространства возьмем ([0, 1],
.$[0,1], от), где от —мера Лебега. Обозначим через Ank интервал
в [0, 1] длины |i„(t/|), причем А8и1 = (0, |i„(£/f)), и Д^+, име-

ют общую граничную точку. Этими свойствами интервалы опре
делены однозначно. Положим л;£(со) = л;| при cogA^. Тогда
х\ ^cg (со) для всех со, не попадающих на концы интервалов
AoV При /6С

М/(^(со)) = 2/Ю^о(^|). (2)

правая часть стремится к ^ fd\in при е~>0. Рассматривая после-
довательность таких разбиений X для последовательности
ег-*0, можем построить так х^(со), чтобы выполнялось (2) с е =
= ег и чтобы при er<es было p(xsnr(a), x^(co))<es для всех
со (р — метрика в X). Полагая x„(co) = lim хепг (а), получим тре-

буемые величины. □

Конечные меры на Я являются мерами Радона, это означа-
ет, что ц&Ж обладают свойством: для всякого е>0 существует
компакт К<^Х такой, что \i(X\K) <Се, о мерах с таким свойст-
вом говорят, что они плотны.

Множество мер /|С/ называется равномерно плотным,
если для всякого е>0 существует такой компакт К<=Х, для
которого [i(X\K) <е для всех ^Ж\.

Теорема 3. Если р„=^р, то {р„, п^1} равномерно
плотно.

Доказательство. Предположим противное. Обозначим
АГв=0/:р(£Л Л')<6}. Легко видеть, что если для всех е>0
и 6>0 найдется такой компакт К, что supLi„(AT\AT6)<e, то

п

{ря} равномерно плотно. Значит, по предположению найдутся
такие е>0 и 6>0, что для всех компактов К sup р„ (Х\К(')~>

п

>е. Выберем К\ так, чтоб л ,\{Х\К\)<&. Найдется такое п2,
что ц,П2(Х\К1{)>£- Тогда, используя плотность цПг на Х\К^,

найдем такой компакт К2СХ\К\, что \inz{K62)> ^. Поскольку

supii„(X\(A'iU7<'2)6)>s, найдется такое п3 и компакт

п

К^Х\(К1иК2)й, что

|1„,(/Сз)>е/2.

Таким образом построим последовательность номеров «г и ком-
пактов Ki таких, что u-„. (Ki) >е/2, и расстояние между каж-
дыми двумя компактами не меньше б. Пусть %&С, %t (х) = \
при x£Ki, и %i(x) = 0 при р(х,/<";)>6/2. Тогда 2Хг(л)бС
Для всех п