Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Теорема 3. Пусть \i(X) = l, feLi(X,n). Тогда почти всю-
ду по мере р существует

llmisn(/f *)=/*(*), (7)

Я->-СО "

где f* (x)=M.ll(f(x)/У), где Мц—математическое ожидание на
вероятностном пространстве (X,3&,\i), Mll(-/5r)—условное ма-
тематическое ожидание относительно о-алгебры У.

Доказательство. Равенство (7) получаем из теоре-
мы 2, взяв g=l (Sgdii=n,(X) <°°). Функция /* ^-измерима.
Пусть A^Sf. Тогда 1А(Ткх)=1А(х) почти всюду по мере р. Зна-
чит,

Нш15я(//Д, X) = /Af*(x).

Я-»-оо

Используя (3), получаем (g = l)

$/ИМ***) =$/*(*)и(rfx), □

а а

Следствие. Пусть {£„, п—0, 1, 2,...} — числовая ста-
ционарная последовательность, М[|о|<°°, тогда с вероят-
ностью 1

limi2b = M(5o/^)-

(мы считаем, что &~, р} совпадает с {Х°°, 38°°, р}, постро-
енными в § 2.1 а), 7 — преобразование сдвига).

2.3. Метрическая транзитивность. Когда выполнен «закон
больших чисел» в том смысле, что пределы в теоремах 2 и 3
постоянны? Заметим, что в качестве предела /*(*) в теореме 2
(а значит и теореме 3) может выступать любая ограничен-

ная ^-измеримая функция. Для этого лишь нужно взять
f(x)=f*(x)g(x). ^-измеримые функции р-почти константы
тогда и только тогда, когда <т-алгебра 3 тривиальна для ме-
ры р, т. е. порождается множествами меры 0.

Преобразование Т называется метрически транзитивным
для меры р, которую оно сохраняет, если а-алгебра & триви-
альна для меры р. В этом случае мера р называется эргодиче-
ской для преобразования Т. Стационарный процесс назы-
вается эргодическим, если порождаемая им вероятностная ме-
ра на пространстве последовательностей эргодична для преоб-
разования сдвига последовательности.

Если мера р эргодична для преобразования Т, то в теоре-
ме 2 /* (х) =/* — постоянная,

= 1 fdi|\gd,.

Для стационарного процесса этот результат можно сформули-
ровать так.

Теорема 4. Пусть {£„, п=0, 1,2,...} — числовой ста-
ционарный эргодический процесс, для которого М|£0|<ОО-
Тогда с вероятностью 1

Замечание. Если р — вероятностная мера, которая яв-
ляется эргодической для преобразования Т, а /б^ (X, р), то
последовательность {/(#), ••■} стационарна и эргодична

на вероятностном пространстве (X, Я, р) и к ней применима
теорема 4. Если она эргодична для всех /^(Хр), то и ме-
ра р эргодична для Т.

Теорема 5. Пусть п=0, 1,2,...} — стационарная по-
следовательность в измеримом пространстве (X, Я). Она эрго-
дична тогда и только тогда, когда каково бы ни было пг и
Ао,..., АтеЯ

п

Ит I 2 (р {ЕобА. 1^Аи..., 1теАт, ЫА0,

4=1

1*164,..., Е^бЛт}-(Р{|0еЛ0,..., ^б^})2) = 0. (8)
Доказательство. Пусть {%} — ограниченная числовая

л

стационарная последовательность. Для того чтобы - 2 схо"
дйлось^ с вероятностью 1 к постоянной (мы знаем, что предел
существует), необходимо и достаточно, чтобы 2 ТЬ^~*,0-

Используя стационарность (Мгійгіу-=Мті0ті ,._й при />&), находим

0 \}п 2*1* =й-[Мчо-(МПо)2]-г-^1; (МтуЬ-(Мг,0)2)

л-1

-|-2^(Мт<о^-(Мт1о)2).

»=1

Условие

1іт 7Г 2 (М^о1!* —(Мт1о)2) = °

0. Беря

необходимо и достаточно для того, чтобы О - У^

\п *=1 /

г\к = 1А0(1к) ■ ■ ■ 1Ат(1т), получаем необходимость условия (8).

Пусть выполнено условие (8). Обозначим через (У, ^, р) про-
странстсво Х°° с цилиндрической о-алгеброй и мерой, порожден-
ной стационарной последовательностью. Обозначим через
7.1° (У, р) подмножество функций /(г/)61](У, р) вида /(«/)=■
= Г"т(*о, . • •, хт), у= (х0) хь .. .), оно плотно в 7л(У, р.). Пусть,
далее, 7"о — множество функций из линейной оболочки индика-
торов цилиндрических множеств. Из (8) вытекает, что при /б

п

Ит \ (Т1гУ)-\/(У). Ш р(с1у)-0. (9)

Так как 7"о плотно в Ь\°{У, р), то соотношение (9) справедливо
для всех /61,1 (У, р). Отсюда вытекает, что всякая 5^-измеримая
функция р-почти всюду совпадает с постоянной. □

§ 3. Центральная предельная теорема
и принцип инвариантности

Центральная предельная теорема утверждает, что распреде-
ление суммы независимых случайных величин при неограни-
ченном возрастании числа слагаемых стремится к нормальному
распределению. Приведенное утверждение нуждается в уточне-
ниях. Если суммы независимых случайных величин ограничены
по вероятности, то из сходимости распределений вытекает схо-
димость ряда. Предельное распределение совпадает с распре-
делением суммы ряда. Оно будет нормальным лишь тогда,
когда слагаемые имеют нормальные распределения. Поэтому
задача ставится иначе. Пусть {^} — последовательность число-
вых независимых случайных величин, £„ = £1+.. .гЦп. Интерес
представляет случай, когда %п неограничены по вероятности.