Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

l(B) = iHQ,y)Mdy), (3)

где k(Q,y) для всех 066 как функция у принадлежит L2{m).
Введем функцию _

г(в1,в2) = М|(в,)1(в2). (4)

Если |(9) имеет представление (3), то для r(0i,02) в силу
свойства 3) справедливо представление

г (0ь 02) = / k (0, у) k (02, у) т (dy). (5)

Более глубокий результат принадлежит Карунену.

Теорема 1. Пусть случайная функция £(0) такова, что
М|£(0)|2<оо и для функции /"(01,02), определяемой равенст-
вом (4), справедливо представление (5) с конечной мерой т,
где k(B, -)6L2(m) для всех 066. Тогда существует такая слу-
чайная мера р, что |(0) представимо по формуле (3).

Доказательство. Обозначим через Жо<=Ь2(т) линей-
ную оболочку множества функций {k (0, •), 066}, а через Ж —
ее замыкание, через Я°(|)—линейную оболочку случайных
величин {£(9), 066}, а через Я2(£) —ее замыкание в L2(Q, Р).
Не ограничивая общности, можно предполагать, что размер-
ность гильбертова пространства L2(ß, Р)©Я2(£) не меньше,
чем размерность Ь2(т)ОЖ. Это вытекает из того, что исходное
вероятностное пространство всегда можно расширить, взяв
вместо исходного пространство (ßXß', &~®SF', Р,ХР')> гДе
(ß', У, Р') — произвольно. Определим теперь отображение
5 : L2(m)-»-L2(Q, Р) следующим образом: Sk(Q, •) =1(0), 066,
5фа = г|а, где {фа} — ортонормированная система в Ь2(т)&Ж,
{г\а} — ортонормированная система в L2(Q, Р)©Я(%). Далее S
продолжается линейно, из (4) и (5) вытекает, что S — изомет-
рия. Положим S/B = p(ß). Тогда

Мр(Bi) рЩ) = $ /в, (х) 1В% (х) т (dx) = т{Вг[) В2)

Значит, p(ß)—случайная мера. Пусть Я2(р) определено,
как в 5.1. Тогда 5 отображает L2(m) на Я2(р) и 5Ф =

= / ф(«/)ц№/)- Итак>

l(x)^Sk(x, •) = !*(*, y)v-(dy). □

Замечание. Пусть П—оператор ортогонального проектиро-
вания Я2(р) на #2(g),7i(ß) = np(ß). Так как П|(е) = 1(0), то
£(0) = §ß(0, y)\l{dy), р —также случайная мера и для нее

Мр (Я,) р (В2) = in (Я, П В2) = М | Пр (Я, п В2) f < т (Вг П В2). Ис-
пользуя это обстоятельство, можем утверждать Справедливость
такого утверждения:

Если для г(0ь Эг) справедливо представление (5) с некоторой
конечной мерой т, то найдется представление вида (5) с мерой
т, минимальной из всех, для которых таксе представление
возможно и случайная мера \i— это мера, принимающая значения

из Н2{1), для которой Mp,(Bi)ii(B2) = m(Bl Г\В2),

i(9) = jÄ(e, y)m(dy).

5.3. Спектральное представление некоторых случайных
функций.

а) Стационарные последовательности. Рассмотрим
комплекснозначную случайную последовательность {£„, п = 0,
±1, + 2, ...). Она называется стационарной (в широком
смысле), если М|£„|2<оо, М|„ не зависит от п, М|„£й зависит
только от n—k. Пусть rA = M|ftg0— | a j2, где а = М£я.

Тогда г й — положительно определенная последовательность
(это означает, что для всех п квадратическая форма

\

2 rk-jzkZj неотрицательно определена 1. По теореме Бохнера

k,j=\ )

тс

для rk справедливо представление rk= j eiklda (к), где а (к)—

—тс

не убывающая на [ — п, п[ ограниченная функция.
Значит,

тс

М^1г=|а|2+ J eik V^tfa (к)

—тс

и по теореме Карунена существует случайная мера \i(dk) на
[ — л, п[, для которой M\,(dk)\2 = dG(k) и 1,кч=а-\-

—тс

б) Стационарные процессы. Рассмотрим комп-
лекснозначный случайный процесс Он называется
стационарным (в широком смысле), если 1) М||(f) |2<;оо, /б

2) М|(0 не зависит от t, 3) Mg(/)g(s) зависит от разно-
сти t—s. Пусть a = M|(/), r(t) =M|(/)g(0)—корреляционная
функция, она положительно определена.

Теорема Бохнера. Если r(t) непрерывна в точке О,
то она представима в виде

/■(*) = J еш</о (Я.),
где а (Я) —неубывающая ограниченная функция.

Из теоремы Карунена вытекает существование такой стоха-
стической меры р(^Я)

£(*)==|еш|1(^)4-а.

Глава 5

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

В главе 1 указывалось на то, что вероятностные закономер-
ности проявляются при рассмотрении большого числа случай-
ных объектов. Основной инструмент выявления этих законо-
мерностей— предельные теоремы теории вероятностей, они со-
ставляют значительную часть теории, оставаясь главным
направлением ее развития. Примеры предельных теорем содер-
жатся в гл. 2, § 1.2 и в гл. 3, §§ 1—3. В этой главе приводятся
некоторые общие результаты, относящиеся к сходимости рас-
пределений, а также рассматриваются два важных класса пре-
дельных теорем: эргодическая и центральная предельная тео-
рема.