Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
$/(«/) Я» (■*, Лу)бС.
Положим
п
Яп(х, в)=^-2 в).
При любом х последовательность мер Яп(х, ■) слабо ком-
пактна. Пусть п, — такая последовательность, что Нщ(х, •)=>v.
Так как Яп ■— вероятность перехода, то V — вероятностная ме-
ра. Имеем для /бС
5 V (йу) 5 (3 (У, йг) / (г) = Нт $ ^- 2 <2* аУ) $ 0 ^г) /
"і
( "1
= 1іт^ ^^к(х,сІг)/(г)-^^1(х7 йг)/(г) +
+ ~^Япі+і (х, </*)/(*)).
Если v(5) = $ С? (у, В)у{с1у), то \/{гУ>(сІг)^\/(г)у(с!г), у=у,
v—инвариантна для С?. □
2.2. Теорема Биркгофа. Пусть (X Я) — измеримое про-
странство, Т — сохраняющее а-аддитивную меру р преобразо-
вание. Обозначим Ткх результат /г-кратного применения Т к х,
Т°х=х. Последовательность {х, Тх, Т2х,...} — траектория (ор-
бита) точки х. Нас будет интересовать поведение сумм
п
при п-*-оо, где / — .^-измеримая числовая функция. Через
£і(Хр) будем обозначать пространство ^-измеримых р-ин-
тегрируемых числовых функций.
Теорема 1. Положим
с/„={х:5„(/, х)>0}, Уп^1)ик, У=иУп-
4=0
Тогда если (X, р), то ^ / (х) р (их) > 0. Это утверждение
V
носит название максимальной, эргодической теоремы.
Доказательство. Положим
£„(/, л)=тах5*(/, х).
4<л
Очевидно, ]/„ = {х:5Я(/, х)>0}. Если обозначить Т*/(х)==
= /(Тх), то
5^, (/, *)=/(*) + $„ (Г*/. ^)^4(г*Л^)>о}-
Второе слагаемое неотрицательно, поэтому
$ Яп+Л/, х),(с1х)< | /(х)р(й?х) +
+ $$„(7-/, ^)^;(г*л,)>о^(^)= 0)
= 5 /(.к)и.(еОс) + ] х)1{^пГ1Х>0},^х)
(мы воспользовались инвариантностью меры р, в силу кото-
рой совпадают интегралы в последнем равенстве).
Поскольку Sn (/, ■*)< Sn+i (/, х), то
j 5„+i (/, х) \i(dx) = ^Sn+i (/, х) 7{5я+1(л^)>о^(^)>
>\sn{f,x)I {snif<x)>0f (dx). (2)
Из (1) и (2) вытекает, что
J f(x)n(dx)>0.
Переходя к пределу при д->оо, получаем доказательство. □
Из максимальной эргодической теоремы легко получаем
следующую теорему для отношений.
оо
Теорема 2. Пусть /, g£Lx(X, р), g>0 и ^(^-^+°°
k=i
р — почти всюду. Тогда
1) почти всюду по мере р существует предел
Нт(5я(/, x)/Sn(g, х));
2) если этот предел обозначить f*(x), то /* (Tx) = f* (х)
почти всюду по мере р и
$/(^р(^) = 5§(^)/*(л)р(йГх). (3)
Доказательство. Обозначим через Ze множество тех х,
для которых
оо
2g(7'ftx)== + со, ЙпТ(5л(/, *)/S„(g. -*))>ß-
Это множество инвариантно для преобразования Т (А инва-
риантно для Т, если Т'(Л)сгЛ).
Через Za обозначим множество тех х, для которых
оо
2 g (Т*х) = + со, lim (S„ (/, x)/Sn (g, x)) < а.
*=i
Это множество также инвариантно для Т. Таким будет и мно-
жество Zaf)Z^. Очевидно, что преобразование Т можно рас-
сматривать на любом инвариантном множестве Л, оно будет
сохранять ограничение меры р на А. Рассмотрим преобразова-
ние Т на Za[\Z*. Тогда
U {x:/(r^)-ßg(r*Jc)>0}nZariZß=Z«nZß,
п
и на основании теоремы 1
$ (/(*)-р8(.к))|1 (</*)> О,
Применяя теорему 1 к функции щ(х) — /(х), убеждаемся, что
5 / (х)\1(с1х)<а ^ g{x)\l(dx). (5)
Поэтому
При р>а отсюда находим
5 g(x)ц(dx) = 0,
т. е. ^l(Zaf)Z^) = 0, так как ё>0. Из неравенств (4) и (5) так-
же вытекает
<\>В(х)\1^х)<~-^ \ / (х)\11^х), а<0,
$^)К^)<|^1/(-*)1^-*)> Р>°-
(6)
Так как g(x)>0, то
(х( П Za) = Lл(nZfi) = 0.
а<0 Р>0
Значит, 11т (5„(/, А:)/5я(г. л)) и _Нт ($„(/, л)) ко-
нечны и совпадают почти всюду по мере р. Утверждение 1) до-
казано. Для доказательства 2) заметим, что если £)Р ={х:/*(х)6
<5[а, то точно так, как при доказательстве (4) и (5), получаем
$^(х)\1(Лх)> ^ /(x)\l(dx)>a^ g{x)^x,(dx),
°\ 4 °£
$ ^ f*(x)g(x)lL(dx) <(р-а)$ 8(*)ц(*х).
Взяв произвольное й>0, будем иметь
| 5 / (X) Ц ^Х) - | /* (X) г (X) |1 (<**)
k — —-ос
5 f(x)ii(dx)- $ /*CJC)g(JC)(*(rfjc)|
г,(* + 1)я л(*+1)«
ай+1)*
Отсюда вытекает (3). f* (Tx) =f* (x), если только ~Lg(Thx) —
= +,oo. □.
Обозначим через 2f о-алгебру, порожденную инвариантны-
ми множествами и множествами р-меры 0. Функция чр (л:)
^-измерима, если \х,{{х : ty(Tx) ¥=ty (х)}) = 0. Функции, выступа-
ющие в качестве пределов отношений, рассматриваемых в
теореме 2, ^-измеримы.
В теории вероятностей наиболее интересен случай вероят-
ностной меры р.
