Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

б) совместное распределение величин Zn(tl), t,n(t2),...
...,£,n(ti) при /,б[0, 1] сходится к совместному распределению
величин W(t\), W (t2), . . . , W (ti).

Используя а) находим

Hin 2 р{Пп(к, А)>е}<2 2 Р{|о>((А + 2)АЛ1)-

"->00ft<A-1 ft<A-»

-w(kh)\>j}<2 2 Дм|ш((а + 2)аЛ1)-«»(аа)|4<
<f Ä-'(3(2Ä)2) = 0(Ä).

Это выражение стремится к нулю. Значит, множество {рп}
компактно. На основании б) для всякой функции /(*('•)) вида

где Ци..., ЩО, 1],Ф6СН' —любые,

$ /(Урл^ $ /с1\1т.

Множество функций / указанного вида тотально в С[0,1]. По-
этому рп^ри,. □

ИСТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ КОММЕНТАРИЙ

Философскому обоснованию теории вероятностей посвящена книга
[1], содержащая популярное изложение взглядов автора на сущность тео-
рии вероятностей и возможности ее приложений (перевод книги, вышедшей
иа французском языке в 1956 г.).

Принятая сейчас аксиоматика теории вероятностей была впервые изло-
жена в статье А. Н. Колмогорова 1933 г. (см [7]).

Изложение основных понятий теории вероятностей можно найти в кни-
гах [2], [8], [10,] [И], [15], [17]. Первый том книги [15] содержит элементар-
ную теорию вероятностей, здесь очень много содержательных задач, полез-
ных для понимания истоков понятий и методов. Второй том содержит из-
ложение основных результатов по предельным теоремам случайным блуж-
даниям, марковским и стационарным процессам. Книга [8] содержит фунда-
ментальное изложение теории вероятностей, независимых и зависимых слу-
чайных величин, содержит также элементы теории случайных процессов.
Основное внимание в книге [10] уделяется строгому определению основных
понятий теории вероятностей. Довольно полно изложена общая эргодиче-
ская теория. Книга [17] содержит изложение на современном уровне основ-
ных понятий теории вероятностей, предельные теоремы и эргодическую
теорию, стационарные последовательности, мартингалы и цепи Маркова.
Книга [2] содержит основные сведения по теории вероятностей (предель-
ные теоремы, случайные блуждания, цепи Маркова, простейшие случайные
процессы). Книга [11] носит характер справочника, основное внимание уде-
лено предельным теоремам и теории случайных процессов.

Книги [3]—[5], [9], [12], [14] посвящены различным аспектам теории слу-
чайных процессов. Первое наиболее полное изложение теории случайных
процессов содержится в [5]. Особо следует отметить эргодическую теорию
для цепей Маркова. Книга [3] содержит изложение основ теории случайных
процессов, включая аксиоматику, условные вероятности, независимость, об-
щую теорию случайных функций, сведения об основных классах случайных
процессов, предельные теоремы. Книга [9] и примыкающая к ней книга [4]
посвящены изучению потоков о-алгебр на вероятностных пространствах и
связанных с ними моментов остановки, измеримости случайных процессов,
мартингалам и супермартингалам. В книге [12] излагается спектральная
теория стационарных в широком смысле процессов с приложением к тео-
рии экстраполяции и фильтрации, а также эргодическая теория стационар-
ных в узком смысле процессов. В книге [14] изложены основные факты
теории процессов с независимыми приращениями (в том числе и с дискрет-
ным временем, т. е. случайных блужданий).

Основное содержание книги [6] — распространение на зависимые вели-
чины предельных теорем для независимых случайных величин.

Книга [16] содержит основные понятия и теоремы эргодической теории
в доступной для широкого круга математиков форме.

В книге [13] изучаются методы построения мер, преобразования мер
гладкими отображениями, условия абсолютной непрерывности, квазиинва-
риантные меры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Борель Э. Вероятность и достоверность.— М.; Наука, 1964.— 120 с.

2. Боровков А. А. Теория вероятностей.— М.: Наука, 1976.— 352 с.

3. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.

— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1977.— 568 с.

4. Деллашери К- Емкости и случайные процессы.— М.: Мир, 1975.— 192 с.

5. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы.— М.: ИЛ, 1956,— 605 с.

6. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные
величины.— М.: Наука, 1965.— 524 с.

7. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.— М.: Нау-
ка, 1974.— 120 с.

8. Лоэв М. Теория вероятностей.— М.: ИЛ, 1962.— 719 с.

9. Мейер П. А. Вероятность и потенциалы.— М.: Мир, 1973.— 323 с.

10. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей.— М.: Мир,
1969,— 310 с.

11. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей.— М.: Наука,
1973.

12. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы.— М.: Физматгиз,
1963.— 284 с.