Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
"Г.
Мы будем изучать условия, при которых существуют постоян-
ные ап и Ьп такие, что распределение величины 6П_1(£П—ап)
слабо сходится к нормальному распределению.
3.1. Одинаково распределенные слагаемые. Пусть |а имеют
одинаковые распределения, М^ = а, 0^ = Ь<оо. Тогда величи-
на %п имеет математическое ожидание па и дисперсию пЬ. Ес-
тественно выбрать ап=па, Ьп=^пЬ, тогда цп = (пЬ)~1/2 (£,п—па)
имеет математическое ожидание 0 и дисперсию 1.
Теорема 1. При п-+оо распределение цп сходится к нор-
мальному со средним 0 и дисперсией 1.
Доказательство. Обозначим характеристическую функ-
цию Цп Через /„(2),
/„ (г) = М ехр {Ьгцп) = ехр |ш ф (2 (пЬ)
где ф(2) = М<?'г£>. В силу теоремы 5 § 1 достаточно доказать
что /п (2)->-ехр{—22/2} (это характеристическая функция нор-
мального распределения со средним 0 и дисперсией 1). Из су-
ществования Щ1 вытекает, что ф(2) дважды непрерывно диф-
ференцируема и
где а(2)->1 при 2->0. Поэтому
Следствие. Пусть \к принимают значение 1 с вероятностью
р и 0 с вероятностью 1 — р, 0</?<1. Тогда для всех х
ИшР|21к<Упр(1-р)х-т-пр\ = Ф(х), (1)
X
где Ф(л:) = (2я)-1/2 | е-и''2с1и.
—со
Мы пользуемся замечанием к теореме 1 § 1. Если имеется после-
довательность независимых испытаний, в каждом из которых
может произойти некоторое событие с вероятностью р, то пола-
гая |й=/аа, где Ак—рассматриваемое событие в &-ом испытании,
получим последовательность величин, для которой выполнено (1).
п
При этом ^2^*==Л'л есть частота появления события в и испы-
таниях. Из (1) получаем: при а<6
ПтР{аУЩ£<уп-р<ЬуЩЩ =
о
а
3.2. Теорема Линдеберга. Пусть —последовательность
независимых случайных величин, Щк = ак, Dlk = bk. Положим
Лв = ( 2 —2 а* ] ( 2 bk
Нас будут интересовать условия, при которых распределение г\п
будет сходиться к нормальному распределению со средним 0 и
дисперсией 1. Одно такое условие найдено Линдбергом, оно
п
носит его имя. Обозначим сп= 2 bk.
ft=i
Условие Линдберга. Для всякого г>О
^l2*ib-a.f /{|6^>.Ке-Г 0. (3)
Теорема 2. Если выполнено условие Линдберга, то для
всех х
Um Р{лв <•*} = <&(*). (4)
л->-°о
Доказательство. Не ограничивая общности, можно счи-
тать, что ak = Q. Обозначим (pft(z) = Me'z5ft, /„(z) = Me'zr4 Тогда
л
/в(г)==Пф*(<7-,/2г).
Обозначим
a«ft(8) = ^IMS^{|6ft|>8^}- (5>
л
В силу условия (12) для всякого е>0 2ank(е)->-0. Так как
bklcn<e + a„ft(e), то
lim max — = 0.
л-+оо l<ft<n Cn
Значит, c„->- oo.
Из условия (3) вытекает, что
ФА (z)=l —?2-öa-t-ßft(z),
л
где lim 2 lß*(zc-,/2)j=0. Так как при |«*|<1, |г>*|<1
П% — П Z>J< 2 I «а — *>ft|> ТО
lim
П Фа (z^/2) - П (1 - ) I < lim 2 I ß»* (z) I = 0.
Остается заметить, что
Замечание. Условие Линдберга гарантирует, что вклад
отдельного слагаемого в общую сумму стремится к нулю по
вероятности:
п
P{maxll^i>e)<2p{U*-«*l>eVM<
Ь<к<п Yen ) к=\
п
< -5— 'S М <Zb I2 7,|E
Из теоремы Линдберга как следствие получаем теорему
А. М. Ляпунова (она была доказана раньше и более удобна
для применений).
Теорема 3. Пусть при некотором а>0
lime 2 2М1^-а*12+а = 0- (6)
Тогда выполнено (4).
Доказательство. Опять считаем а& = 0. Если onft(e)
определяется равенством (5), то
a„ft(8)<8-»c~,_2Mjift|2+«.
Поэтому из (6) вытекает (3).
3.3. Теорема Донскера — Прохорова.
а) Случайные ломанные. Пусть {£*}—последова-
тельность независимых случайных величин, для которых
Mgfc=0, D|b=&ft и выполнено условие Линдберга. Положим
к
Обозначим через g„(0 случайную ломанную с вершинами в точках
(^пку Ъпк)'
In(t)- Ink tnkZ-tnk + 5n*+1 t»kn- tnk
£n(0—непрерывный случайный процесс. Ему соответствует
некоторая вероятностная мера на Сю.ц — пространстве число-
вых непрерывных функций. Обозначим ее через рп. Обозначим
через pu, меру на C[0,i], отвечающую винеровскому процессу
w(t) (точнее, его непрерывной модификации) (см. гл. 3,
,§ 4.3.6).
Теорема 4 (Ю. В. Прохоров). р„=^рю в C[0,i].
Частный, но наиболее важный для практических примене-
ний случай одинаково распределенных величин gft рассмотрел
М. Донскер.
б) Принцип инвариантности. Предположим, что gA
одинаково распределены, Dgft= 1. Тогда сп=п, условие Линд-
