Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Очевидно M|r)9|<M|g|. Р{|ле|>с2}<
<4"М 1g1. Поэтому
м К | /{Inej>^} = M I М (И^ъ) I /{|чв|>«'} <ММ (I l l/^e) 7{!ie,>^ =
= М I £ I 7{il9!>c2} = М I 5 К{161<с}/{jHe|>e2} +
+ М111 /{isi>c}/{lT,e|>c.}<c^iii+M | g | /{|||>с}
и правая часть не зависит от 8 и стремится к нулю при с-+ со. □
Следствие. Пусть &псУп+и ^■0O=V^„, M|g|<oo,
л
тогда с вероятностью 1
М (g / = lim M(g/<?"„).
«->оо
4.3. Непрерывный параметр. Пусть TczR+. Будем предпола-
гать, что {STt, t£R+} — поток а-алгебр.
Теорема 5. Пусть {h, &~t, t&R+}— супермартингал, для
которого семейство {£;, /^s} равномерно интегрируемо, каково
бы ни было s. Тогда \t имеет непрерывную справа модифика-
цию, если M%t непрерывна справа.
Доказательство. Обозначим через D+ множество неотри-
ца тельных рациональных чисел. Используя теоремы 2 и 3, можем
убедиться, что для всякого s величина sup с веро-
ятностью 1 конечна, точно так же, как и величина
v(D+n[0, s], ru г2) — число пересечений совокупностью {lt,
*6[0, s]f)D+) полосы [г], г2], оно определяется как супремум числа
пересечений этой полосы последовательностью {I/,,..-, ttn) по
всём п, tx < t2 < ... < tn из [0, s] П D+. Поэтому для всех t
существует
lim =
Покажем, что h*=h с вероятностью 1. Пусть un\t, unQD+.
Тогда для всех AQ£Ft М/д£«п < М-1 Ah- Используя равномерную
интегрируемость, убеждаемся, что М/д£*< М/Д,, так что
£/<|, с вероятностью 1. Но Mg* = limMg„ = МЕ,, значит
p{i<=i;}=i. □
Следствие. Если {lt, (F(, tQfi+} — мартингал, то h имеет
непрерывную справа модификацию.
§ 5. Стохастические интегралы и интегральные представления
случайных функций
Мы будем рассматривать комплекснозначные случайные ве-
личины на фиксированном вероятностном пространстве {Q,
Р}, принадлежащие L2(Q, Р), а также случайные функции с
такими значениями. L2(Q, Р} теперь комплексное гильбертово
пространство со скалярным произведением <|, г)>=М£г|.
5.1. Случайные меры. Пусть (Х,3§)—некоторое измеримое
пространство. Рассмотрим комплекснозначную случайную
функцию p(ß), определенную на Я, для которой выполнено
условие
А. Существует такая конечная мера т на Я, что
Ж,{Вх)ЩЩ) = т(ВхС\Вд, Вх, В£Я. (1)
Тогда p(ß) будем называть случайной мерой. Это название
оправдывается следующими свойствами:
Б. Если Ви В2Ш, Bi(]B2 = 0, то p(ßiUß2) = u.(ßi)+Li(ß2)-
Чтобы убедиться в этом рассмотрим
т\ц(В1иВ2)-11(В1)—11(В2)\2 = т(В{1]В2)-
—2т(В1)—2т(В2)+т(В1)+т(В2)=0.
В. Если {Вп, п^\}а93, Вг-П5,- = 0 при 1ф\, то
|1№.) = 2 ц(Дп). (2)
я л
Это вытекает из равенства
М
Вп)-^\1(Вп) =т(иВЛ-^т(Вп).
\ " 1 я=1 \ л / л=1
Отметим еще одно важное свойство, с помощью которого
можно продолжать стохастические меры.
Г. Пусть З&о— подалгебра 93, порождающая 93, р(5) зада-
на на 930 и удовлетворяет соотношению (1) при Ви В2с^93о, а
т — конечная мера на 93. Тогда существует продолжение р(В)
до стохастической меры на 93. Это продолжение строится с
помощью предельного перехода по монотонной последователь-
ности множеств: для всякой монотонной последовательности
Вп существует Птр(Би), например, для возрастающей после-
довательности при п<.т М|р(Вт)— ц(В„)\2=т(Вт—В„)-М).
а) Стохастические интегралы. Обозначим Ь2(т)
пространство комплекснозначных ^-измеримых функций (р(х),
определенных на X, для которых / \ц>(х) \2т(йх)<оо. Это
тоже комплексное гильбертово пространство. Пусть #г(р) —
подпространство Ь2(&, Р), порожденное величинами (р(5), Ва
£93}, а Я°(р) —линейная оболочка этих величин. Наконец, че-
рез В0(Х) обозначим пространство простых функций из Ь2(т),
т. е. линейную оболочку {1в{х), В693}. Определим отображение
/ В0(Х) в Я°(р):
/(2С*/**)'=2с*11(5*)-
/ — линейное изометрическое отображение: если Вк не пересе-
каются, то
$ 12 с*1вк (■*) \т = 2 I с* Р т = МI 2 с№ Г-
Поэтому / как изометрия продолжается на Ь2(т) и взаимно
однозначно отображает Ь2(т) на #г(р)-
Случайная величина /(ф) называется стохастическим инте-
гралом функции ф по случайной мере р, он обозначается
/фй?р= / ф(лг)р(^л:).
Стохастический интеграл определяется единственным обра-
зом своими следующими свойствами:
1) §/вй?р = р(.в), 2) стохастический интеграл —линейная одно-
родная функция, 3) М§ф^р§г1>а?р = §Ффй?/№.
5.2. Теорема Карунена. Стохастический интеграл использу-
ется для представления случайных функций, определенных на
в, со значениями в L2(ß, Р) следующего вида:
