Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
lim j 2 Ъ (*) IS (^л) == J 2 X* (•*) F0 (<*■*)•
Правая часть стремится к нулю при я-> оо, а
оо
J 2b(Jc)|iB<(rfJc)>~.
t—m
Противоречие. □
Замечание. Пусть для всех /6С существует Нт|/й?ц„.
Тогда {ря, «>1} —также равномерно плотно. Действительно,
если это не так, то можно указать такую последовательность nt
и построить функции %k (■*)> как было указано при доказательстве
сю
теоремы. Положим typ (х) = 2 Ipk (■*), где /? —простое число.
4 = 1
•фр (л:)€С и, значит, существует lim | чрр {х) \in (dx). Легко видеть,
П-*~оо
что J ip^cffx^ г>е/2 для всех /, откуда
lim j грр(-) б?ря>е/2.
Л-*-оо
Поэтому lim j2v^«=00' ^^р^- Опять противоречие.
П-*оо р
1.2. Слабая компактность.
Определение. Множество Ж\^Ж называется слабо
компактным, если из всякой последовательности \хпЬЖ\ мож-
но выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Всякая слабо компактная последовательность, имеющая
единственную предельную точку, слабо сходится. В частности
для слабой сходимости р„ к некоторому пределу достаточно,
чтобы множество {цп, п^\) было слабо компактным и для /6
67 существовал lim Г fd\in, где 7<=С некоторое тотальное
множество. Приведем условия слабой компактности множест-
ва мер.
Теорема 4. Для того чтобы множество мер Ж\<=Ж бы-
ло слабо компактным, необходимо и достаточно выполнения
условий: а) множество {ц{Х), ^Ж\} ограничено, б) множество
Ж\ равномерно плотно.
Доказательство. Необходимость условия а) очевид-
на, условия б) вытекает из теоремы 3.
Достаточность. Пусть iT„cZ — последовательность ком-
пактов, для которой ц(Х\Кп)<2~" при ,£Ж\, с = sup(ц.(X),
]х,^Ж\}. Обозначим через С(Кп) пространство непрерывных функ-
ций на Кп- Это сепарабельное пространство. Поэтому можно
указать так-ую последовательность /тбС, чтобы для всех /бС
существовала подпоследовательность fmk, для которой
sup || fmA\ < оо и для всех п
k
lim sup | /(*) — fm4(jc)| = 0.
Пусть и для всех от существует lim \ fmdnt. Тогда
если /бС и /т выбрано, как указано выше,
lim |J/rfn,— f /dny|<lim J S /</H7
I —>- CO " £ -*-CO
+
+ 2 II/II2"» < lim 15 /m/p, - j /m^|i; | +
4- 2c sup I /„ft(jc) - / (jc) I + 2 И / jl 2-».
Первое слагаемое справа равно нулю, два других можно сде-
лать сколь угодно малыми выбором п и k. Значит, существует
lim / fd\ii для всех /бС.
Какова бы ни была последовательность из нее можно
выбрать подпоследовательность \it , для которой lim \ fmd\iin
существует и, значит, существует lim \ fd^i для всех /бС.
Обозначим /(/)== lim J fd^t • Используя вид линейного функ-
П-±оо
ционала на С (К), где К компакт, можно убедиться, что l(f) =
= j fdy.0, где р06.#. □
1.3. Слабая сходимость мер в Rd. Так как компактами в Rd
являются ограниченные замкнутые множества, то из теоремы 4
вытекает следующее утверждение: множество мер ЖхсЖ в Rd
слабо компактно тогда и только тогда, когда а) множество
{p(/?d), Ц6Ж1} ограничено, б) для всякого е>0 можно указать
такое г, что \i(Rd\Sr) <е, где Sr — сфера радиуса г. Заметим,
что множество {еш,х\ z£Rd} является тотальным. Исходя из
этих двух фактов, установим следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть {р„, n = 0, 1, 2, ...} — последователь-
ность вероятностных распределений в Rd, (p„(z)= / exp{i(z, х)}-
pn(dx) — их характеристические функции. Тогда
1) если рп=^ро, то фп(2)->ф0(2:) равномерно на каждом
ограниченном множестве;
2) если (pn(z)->-ty(z) и ty(z)—непрерывная функция, то
Рп=^Ро, где р0 — некоторая вероятностная мера.
Доказательство. Утверждение 1) вытекает из того,
что для всех г ф„ (г) -*-ф0(г), и неравенства
IФ* (г) - <Р„ (2, ) | < j | е' (*• *> - <?< <*• ■ *> | ц„ (dx) + 2е
<
<г_|г1 — 22| + 2е,
если только г выбрано так, что р,„(5г)^1—е для всех п.
Покажем, что при выполнении 2) {цп, п^\) слабо компакт-
но. Пусть 21, ..., га, х1, ..., Xе- — координаты точек гид:.
Тогда
ее й
sin ôxk
»-1
$ ...$фЛ2)^..^Чп^м^),
—6 -6 *=1
-6 -6 \ к=\ }
Используя сходимость ф„(2) к непрерывной функции ф(г) и то,
что ф„(0) = 1, \|5(0) = 1, можем выбрать так 6>0, чтобы
^\{\-к^\^{йх)<г.
Тогда
supli„(X\Sr)<sI 1— sup II
d
Из сходимости характеристических функций и тотальности мно-
жества {exp{i(z, х), z£Rd) вытекает слабая сходимость \х,п к
некоторой мере р. □