Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

б) Существование измеримых модификаций.

Теорема 6. 1) Пусть x(t, со)—измеримый согласованный
процесс в борелевском пространстве (Х,$). Тогда у него су-
ществует ^-измеримая модификация. 2) Если, кроме того,
для всех t£R+ x(t,(o) ^--измеримая величина, где Уо-=Уо>
Srt-= V SFs, г*>0, то существует ^-измеримая модификация

s<i

процесса x(t, со).

Доказательство. 1. Так же, как в теореме 1, можем
ограничиться процессом со) со значениями в [0,1]. Пусть
Я— такое гильбертово пространство, как в теореме 1, a Ht —
подпространство Я, порожденное величинами IB(x(s, со)),
Обозначим через Pt оператор проектирования на Яг. Если
|(/, со) как функция со значениями в Я измерима, то такой
будет и функция Pt(l(t,(a)). Пусть xn(t, со)—такая, как в
теореме 1. Достаточно доказать существование 2f-измеримой
модификации у процессов

PtXn(t, u)=^Icnk(,t)Ptlnk,

а для этого у процессов Р^пи-

Процесс Pfinft = M(grij1/^j) является мартингалом (см. § 4)
и поэтому на основании § 4.3 имеем непрерывную справа мо-
дификацию. Она будет ^-измерима в силу теоремы 3.

2) Обозначим xih)(t, со) =Pt-h vox(t, со). Это тоже измеримая
функция в Я. Так как по условию

lim М I х (t, со) — xW U, си) |2 = 0,

достаточно доказать существование ^-измеримой модификации
у xh(t, со), а для этого у Pf-hink. Это мартингал, согласованный
с потоком ^"/_ftvo его непрерывная справа модификация пред-
сказуема, поскольку таким будет всякий ступенчатый ^_/гуо-
согласованный процесс. □

§ 4. Мартингалы

4.1. Определение и простейшие свойства. Пусть T<ziR и каж-
дому t£T поставлена в соответствии а-алгебра SFt так, что при
t<^s yt<^ys. Семейство числовых величин {gi, t£T} называется

мартингалом относительно {@~t}, если: 1) g* ^-измеримо для
всех teT-, 2) существует 3) при s<t M(gt/#"s) =£, (ра-

венство случайных величин всюду понимается как равенство с
вероятностью 1). Иногда говорят, что STt, t&T} есть мар-
тингал. Можно говорить о мартингалах, не указывая ст-алгебр.
"Тогда имеется в виду, что в качестве &~t взяты а-алгебры, по-
рождаемые s^, s£T}. Нас в основном будут интересовать
3 случая: Т—конечное множество, T=Z+ — множество целых
неотрицательных чисел, T=R+.

• Простейшим примером мартингала является процесс с не-
зависимыми приращениями, у которого математическое ожида-
ние приращения равно нулю. Менее тривиальны следующие
примеры:

Пример 1. Пусть r\(t), t£R+, — однородный процесс с
независимыми приращениями, для которого при некотором К
Mexp{Är|(0} существует. Тогда М exp{kr\(t)} = exp{ta(K)}, где
«а (Я) —некоторое число.
Процесс

|(0=ехр{>л|(*)-ВД}

является мартингалом относительно потока 2Ги порожденного
t)(s), ss^.

Пример 2. Пусть Т произвольно, SFt удовлетворяет ус-
ловию монотонности. Если г) — произвольная величина в R,
для которой М | т] [ <; оо, то, если |/ = М(т)то {lt, 3Ft,
t&T)— мартингал. Если для \t выполнены условия 1) и 2), и
3') при s<t M(g(/#"s) ^|8, \t называется супермартингалом,
а если 3") при s</ М(|f/^"s)^|s, \t называется субмартин-
галом.

Легко проверить, что выполняются следующие свойства:

I. Если h — мартингал, g(x) выпукла вниз, то gilt)—суб-
мартингал (в частности lt2)-

П. Если \t—■ супермартингал и g(x) выпукла вверх и воз-
растает, то g(^t) —также супермартингал.

Наиболее важным является свойство сохранения 3, 3', 3"
для моментов остановки при некоторых дополнительных огра-
ничениях. Такие ограничения исчезают, если Т — конечное
множество. Здесь под моментами остановки понимаются такие
случайные величины т, принимающие значения из 7[J{+°°},
для которых {x^t}£SFt. В том случае, когда Т не более чем
счетно, это означает, что {x=t}&^~t для всех /67. Будем назы-
вать т м. о. в 7.

Теорема 1. Пусть Т — конечное множество, ть т2—м. о.
в Т. Тогда на множестве {т!<т2} справедливы соотношения
М (1тг/#"т1)<1т1. если lt— супермартингал, М(£Т2 |.^Ti) = |tl,
если lt— мартингал, М(|т, | £"Tl)>£Tl, если lt — субмартингал.
Здесь &Xl — а-алгебра таких множеств А, что А n {fj = t}d£Ft
для всех tcT.

Доказательство. Все три соотношения доказываются
аналогично. Пусть |,—- мартингал. Заметим, что {т, <т2}є<ГТі,
так как <т2}П{т1 = /}=^1 = ^}П{^2> Нам нужно дока-

зать, что для всех А{*УХі, Лс{т!<т2} будет

М/лІт2 = М/л|Ті.

Не ограничивая общности, можно считать, что Г = {0, 1, ...,/г},
Лс{т1=А}П{т2>А}. Тогда

т=к

Так как /л/{т2>т} #*т-измеримо при т>&, то М/л/{т2>т)Іт+і =
= М/л/{т2>т}Іт- Беря математическое ожидание, получаем тре-
буемое. □