Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Теорема 4. Процесс x(t, со) не имеет разрывов второго
рода, если при некоторых сх>0, ß>0, £>0

М[г(х(/ьсо), x(t2,u))r(x(t2, со), x(t3, со))]^АКз-^|1+а,

при ^1</2<^3.

Доказательство. Имеем
Р jmax(r (*(-^г-. ш), со)) Дг (*(-£г, со), х(^-~, и)) )>

>ап)<^Р [г[х[^-, со), х(±с, со))д
Лг(х(^г, со), х(±±±-, со)))>а«}<

<2Р {г и)' со))г ш)' JC(^r-' со))>

>a2"}<^a-2«ß(11zr)1+><^1 (2аа™)~\ кг=к-21+а.

Если 2аа2р>1, а<1, то в силу теоремы Бореля—Кантелли для
достаточно больших п

r(x[-LW-^ ю). *(^г. и))Л/"(л:(^г, со), со))<ап.

Можно показать, что если для некоторой функции л:(0 для
я > я0 при а < 1

r М-^Ч *(^))ArHi")* jc(ii1))<a"'

то она имеет для всех е>0 конечное число е-колебаний. Отсю-
да и вытекает доказательство. □

Вторая теорема использует условные распределения.

Пусть x(t, со)—процесс на [0,1] со значениями в X.
Обозначим через SFt о-алгебру, порожденную x(s, со), s^£.

Теорема 5. Пусть существует такая функция cpe(h), что
(p,(h)\0 при п\0, каково бы ни было е>0, и для всех td[Q, 1]
с вероятностью 1 выполнено неравенство

P{r(x(t+h, со), x(t, со)) >е/^}<Ф.(А).

Тогда процесс x(t, со) не имеет разрывов второго рода.

Доказательство. Аналогично доказательству леммы 1
§ 4 гл. 3 можем установить, что число е-колебаний ve после-
довательности X(tu СО), . . . ,x(tn, со) ПрИ /i</2< • • ■ <tn,

tn—ti^h, фе/4(/г)<1/2 допускает оценку Mves£^e/4(/i)/
/(1—2фг/4(й)). Отсюда получаем конечность числа е-колебаний
x(t, со) на любом счетном множестве Т0<^[0, 1].

1.4. Марковские процессы. Пусть (Х,&)—измеримое про-
странство, ÎŒ.R. Случайный процесс x(t,m) с фазовым про-
странством (Х,$), определенный на Т, называется марковским,
если существует функция P(s,x,t,E), определенная при хВХ,
Е£<М, s<Ct, s, ЫТ, такая что

1) она является вероятностной мерой по Е и ^-измеримой
по х,

2) выполняется следующее равенство, называемое уравне-
нием Чепмена—Колмогорова: при s<it<iu, s, t, и^Т

Р (s, х, и, Я) = jj Р у, и, Е)Р (s, х, t, dy), (6)

3) если @~t* — о-алгебра, порожденная x(s, со), sdT, s^t,
то при t£T, и&Т, t<u

Р(х(и, (ù)GE\?y = P(t, x(t, со), и. Е) (7)

с вероятностью 1.

Функция P(s,x,t,E) называется вероятностью перехода
процесса. Она определяет условные конечномерные распреде-
ления процесса: если to<t\ < ... <Ctn, tfiT, то для Е\,...,Еп^
ея

Р{х(^)еЕи x(tn)eEn\x(t0)} =
= j ... j Р (t0, х (tQ), tu dxx) ...P (*я_ь xn_u tn, dxn). (8)

Эта формула получается последовательным применением фор-
мулы (7). Если Т имеет минимальную (начальную) точку ta,
то для задания конечномерных распределений марковского
процесса достаточно задать распределение x(t0) (начальное
распределение) и вероятность перехода. Марковские процессы
описывают эволюции динамических систем со случайными воз-
мущениями, если эти возмущения в разные моменты времени
независимы.

Теорема 5 позволяет получить условие отсутствия разрывов
второго рода для марковского процесса.

Теорема 6. Пусть X — полное метрическое сепарабельное
пространство, Г=[0, 1]. Обозначим через 5р(х) шар радиуса
р с центром в точке х. Положим

Фр(й)=зир вир х, /, Аг\5р(х)).

хСХ 0<<-х<я

Тогда если для всех р>0 фр(0+)=0, то марковский процесс
хЦ, со) не имеет разрывов второго рода.

Доказательство вытекает из теоремы 5 и формулы (7).

Следствие. Стохастически непрерывный процесс с неза-
висимыми приращениями в сепарабельном банаховом про-
странстве X не имеет разрывов второго рода. Действительно,
если со) такой процесс, то он является марковским процес-
сом с вероятностью перехода Р(з, х, I, Е) =Р{х(£, со) —
—со)+лгб£}. Значит, х, /, X—5Р (*)) ==Р{ | х((, со) —

—л: (в, со) | >р} (| • | — норма в X),

ФР(/г)= вир Р{ | хЦ, со) — л (5, со) |> р}.

*,я£10,1]

Остается заметить, что из стохастической непрерывности выте-
кает равномерная стохастическая непрерывность.

§ 2. Измеримость

Пусть (в, (&) и (X, 33) — два измеримых пространства,
{И, ЗГ, Р}—вероятностное пространство. Случайная функция
х(ё, со), определенная на в с фазовым пространством X, назы-
вается измеримой, если отображение х(в, со) : 0ХЙ-+X измери-
мо относительно <&®5Г, т. е. для всех ВаЗЗ {(8, со) б
60X0 : х(9, со)бВ}6<??<8>£Г. Если случайная функция х(9, со)
измерима, то для всех собО функция х(9, со) будет измеримой
относительно а-алгебры <&; если g(x)—ограниченная измери-
мая числовая функция, а V — некоторая мера на то для
всех со определен интеграл / £(д;(9, со) ^ (сШ), он является 5Г-
измеримой (т. е. случайной) величиной и